数学基础day1-高数-1 函数与极限_f(x)=x有极限吗-优快云博客

高数：精确计算

概率论：

线性代数：两个对象或者物体之间的关系

1，函数与极限

①，函数：

从定义域到值域的唯一映射

记作
$y=f\left( x\right) ,x\in X$

其中x叫做自变量，y叫做因变量，f叫做映射规则，f(x)表示一个函数值。

eg1：确定函数

$f(x)=\dfrac{1}{x^{2}−4}$

的定义域和值域。

解：分母不能为0，

解得 x≠2或 x≠−2。

即，原函数的定义域为：

$$
( -\infty ,-2) \cup ( -2,2) \cup( 2,+\infty)
$$

值域：

$(-\infty,-1/4)\cup(0,+\infty)$

②，常见函数类型：

1）线性函数：

$$
f(x)=ax+b
$$

，其中 a 和 b 是常数。

2）多项式函数：

$$
f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n−1}x^{n−1}+⋯+a_{1}x+a_{0}
$$

，其中 ai是常数。

3）指数函数：

$$
f(x)=a^{x}
$$

，其中 a>0 且 a≠1。

4）对数函数：

$$
f(x)=log_{⁡a}(x)
$$

，其中 a>0 且 a≠1。

5）三角函数：

如正弦函数 f(x)=sin⁡(x)，余弦函数 f(x)=cos⁡(x)，正切函数 f(x)=tan⁡(x)等。

6）反三角函数：

如反正弦函数 f(x)=arcsin⁡(x)，反余弦函数 f(x)=arccos⁡(x)，反正切函数 f(x)=arctan⁡(x)等。

7）符号函数：

$$
sgn(x)=\begin{cases}1 & x>0\\0 & x=0 \\ -1 & x<0\end{cases}
$$

③，函数的特性

1）有界性：

一个函数 f(x) 在其定义域 D 上称为有界的，如果存在两个实数 M 和 m，使得对于定义域中的任意x，都有：

$$
m≤f(x)≤M
$$

其中：

M 称为函数的上界。

m 称为函数的下界。

根据函数的有界性，可以分为：

有界函数：如果函数 f(x) 在其定义域 D 上既有上界又有下界，则称 f(x) 是有界函数。

无界函数：如果函数 f(x) 在其定义域 D 上没有上界或没有下界，则称 f(x) 是无界函数。

2）单调性：

对于定义域中的任意 x1 和 x2，当 x1<x2 时，有：

单调递增：如果 f(x1)≤f(x2)，则函数 f 是单调递增的。

严格单调递增：如果 f(x1)<f(x2)，则函数 f 是严格单调递增的。

单调递减：如果 f(x1)≥f(x2)，则函数 f 是单调递减的。

严格单调递减：如果 f(x1)>f(x2)，则函数 f 是严格单调递减的。

3）奇偶性：

一个函数 f(x) 在其定义域 D 上称为：

偶函数：如果对于定义域中的任意 x，都有 f(−x)=f(x)，则函数 f 是偶函数。偶函数的图形关于 y 轴对称。

奇函数：如果对于定义域中的任意 x，都有 f(−x)=−f(x)，则函数 f是奇函数。奇函数的图形关于原点对称。

4）周期性：

一个函数 f(x) 在其定义域 D 上称为周期函数，如果存在一个正数 T，使得对于定义域中的任意 x，都有：

$$
f(x+T)=f(x)
$$

其中 T称为函数的周期。如果存在最小的正数 T 满足上述条件，则称 T 为函数的最小正周期。

5）连续性和可导性

④，反函数

给定一个函数 f:X→Y，如果存在一个函数 g:Y→X，使得对于 X 中的每一个 x，都有 g(f(x))=x，并且对于 Y 中的每一个 y，都有 f(g(y))=y，则称 g 为f 的反函数，记作

$$
f^{-1}
$$

换句话说，反函数满足以下两个条件：

对于 X 中的每一个x，有

$$
f^{−1}(f(x))=x
$$
对于 Y 中的每一个 y，有

$$
f(f^{−1}(y))=y
$$

注意：原函数和反函数是关于y=x对称的。

一个函数 f 存在反函数的充分必要条件是 f 是双射（即一一对应）。具体来说：

一一对应：对于 X 中的任意两个不同的元素 x1 和 x2，都有 f(x1)≠f(x2)。

满射：对于 Y 中的每一个元素 y，都存在 X 中的一个元素 x，使得 f(x)=y。

不存在反函数的函数：

函数 f(x)=x2：在实数范围内，f(x)=x2 不是双射，因为 f(x)=f(−x)，所以不存在反函数。
函数 g(x)=sin⁡(x)：在实数范围内，g(x)=sin⁡(x) 不是双射，因为 sin⁡(x)是周期函数，所以不存在反函数。

求解反函数

求函数的反函数通常涉及以下步骤。假设我们有一个函数 f:X→Y，我们希望找到它的反函数

$$
f^{−1}:Y→X
$$

求解过程：

步骤 1：验证函数是否存在反函数

首先，需要验证函数 f 是否是双射（即一一对应）。只有当 f 是双射时，它才存在反函数。

步骤 2：解方程 y=f(x)

假设 y=f(x)，我们需要解这个方程来找到 x 的表达式。具体来说，我们需要将 x 表示为 y 的函数:x=g(y)。

步骤 3：交换 x 和 y

在得到 x 的表达式后，将 x 和 y 互换，得到反函数

$$
x=f^{−1}(y)
$$

。

步骤 4：验证反函数

最后，验证反函数是否满足反函数的定义，即：

对于 X 中的每一个 x，有

$$
f^{−1}(f(x))=x
$$
对于 Y 中的每一个 y，有

$$
f(f^{−1}(y))=y
$$

⑤，极限

1）数列极限

一个数列 {an} 的极限是 L，如果对于任意给定的正数 ϵ，总存在一个正整数 N，使得对于所有 n>N，都有：

$$
∣a_n−L∣<ϵ
$$

换句话说，当 n 足够大时，数列的项 an可以无限接近L。此时，我们称数列 {an} 收敛于 L，记作：

$$
\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=L
$$

如果数列不收敛于任何有限值，则称该数列为发散的。

2）极限的性质：

唯一性：如果数列 {an}收敛，则其极限是唯一的。

有界性：如果数列 {an}收敛，则它是有界的。

保序性：如果数列 {an} 和 {bn} 都收敛，且对于所有 n，都有 an≤bn，则

$$
\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}\leq \lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}
$$

四则运算：如果数列 {an}和 {bn} 都收敛，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，并且满足相应的极限运算法则。

极限的判定

直接法：

通过分析数列的通项公式，直接计算其极限。
例如，数列

$$
\{a_{n}\}=(\dfrac{n^{2}+1}{2n^{2}+3})
$$

，计算其极限：

$$
\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac{n^{2}+1}{2n^{2}+3}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac{1+\dfrac{1}{n^{2}}}{2+\dfrac{3}{n^2}}=\dfrac{1}{2}
$$

夹逼定理：

如果数列 {an}、{bn} 和 {cn} 满足 an≤bn≤cn，且

$$
\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}= \lim _{n\rightarrow \infty }c_{n}=L
$$

，则

$$
\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}=L
$$
例如，数列

$$
\{a_{n}\}=(\dfrac{sin⁡(n)}{n})
$$

，由于

$$
−\dfrac{1}{n}≤\dfrac{sin⁡(n)}{n}≤\dfrac{1}{n}
$$

，且

$$
\lim _{n\rightarrow \infty }-\dfrac{1}{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac{1}{n}=0
$$

，所以

$$
\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac{sin⁡(n)}{n}=0
$$

3）函数的极限

设函数 f(x) 在点 x=a 的某个去心邻域内有定义(在a处可以没有定义)。如果对于任意给定的正数 ϵ（无论它多么小），总存在正数 δ，使得当 0<∣x−a∣<δ 时，有

$$
∣f(x)−L∣<ϵ
$$

则称 L 为函数 f(x)当 x 趋近于 a 时的极限，记作

$$
\lim _{x\rightarrow a }f(x)=L
$$

eg2：

$$
\lim _{x\rightarrow 1 }\dfrac{x^{2}-1}{x-1}=2
$$

证明：主要是找到一个正数δ，使极限定义成立。

对于任意ϵ>0，存在一个正数δ，当0<|x-1|<δ时，使得

$$
|\dfrac{x^{2}-1}{x-1}-2|=|x-1|<ϵ
$$

此时取正数δ=ϵ即可。即0<|x-1|<δ=ϵ

性质

唯一性：如果极限存在，那么它是唯一的。

局部有界性：如果

$$
\lim _{x\rightarrow a }f(x)=L
$$

，则存在M>0， δ>0，使得 f(x) 在 0<∣x−a∣<δ内有界，即

$$
|f(x)|\leq M
$$

局部保号性：如果

$$
\lim _{x\rightarrow a }f(x)=L
$$

且 L>0（或 L<0），则存在 δ>0，使得 f(x)>0（或 f(x)<0）在 0<∣x−a∣<δ内成立。

4）极限的计算

代入法：如果 f(x) 在 x=a 处连续，则

$$
\lim _{x\rightarrow a }f(x)=f(a)
$$

。

极限运算法则：如果

$$
\lim _{x\rightarrow a }f(x)=L
$$

和

$$
\lim _{x\rightarrow a }g(x)=M
$$

，则

$$
\lim _{x\rightarrow a }[f(x) \pm g(x)] =L\pm M
$$
$$
\lim _{x\rightarrow a }[f(x) \cdot g(x)] =L\cdot M
$$
$$
\lim _{x\rightarrow a }\dfrac{f(x)}{g(x)} =\dfrac{L}{M}（如果 M≠0）
$$

夹逼定理：如果 f(x)≤g(x)≤h(x) 在 x=a 的某个去心邻域内成立，且

$$
\lim _{x\rightarrow a }f(x)=\lim _{x\rightarrow a }h(x)=L
$$

，则

$$
\lim _{x\rightarrow a }g(x)=L
$$

单侧极限

左极限：如果

$$
\lim _{x\rightarrow a^{-}}f(x)=L
$$

，则称 L 为 f(x) 在 x 趋近于 a 时的左极限。

右极限：如果

$$
\lim _{x\rightarrow a^{+}}f(x)=L
$$

，则称 L 为 f(x) 在 x 趋近于 a 时的右极限。

如果极限

$$
\lim _{x\rightarrow a }f(x)
$$

存在，则左极限和右极限都存在且相等。

⑥，无穷大与无穷小

1）无穷大：

如果对于任意大的正数 M，总存在正数 δ，使得当 0<∣x−a∣<δ时，有 ∣f(x)∣>M，则称 f(x)在 x 趋近于 a 时趋向于无穷大，记作

$$
\lim _{x\rightarrow a }f(x)=\infty
$$

无穷大分为正无穷大和负无穷大。

无穷大+无穷大＝不确定（负无穷大加正无穷大不知道为多少）

无穷大-无穷大＝不确定；

无穷大/无穷大＝不确定；

无穷大*无穷大＝无穷大。

2）无穷小：

如果

$$
\lim _{x\rightarrow a }f(x)=0或\lim _{x\rightarrow \infty }f(x)=0
$$

，则称 f(x)在 x 趋近于a或趋近于∞ 时的无穷小。

运算法则：

无穷小加、减、乘无穷小都是无穷小

有界函数与无穷小的乘积也为无穷小

常数与无穷小的乘积也为无穷小

无穷小除以无穷小不确定。

注意：无穷小和负无穷大的区别及无穷小和非常小的数的区别。

负无穷大也是无穷大，不是无穷小；非常小的数是一个常数，不是无穷小。

如果f(x)是无穷大，则1/f(x)为无穷小；如果f(x)是无穷小，则1/f(x)为无穷大。

3）高阶无穷小

设 α和 β 是两个无穷小量（即当 x→a时， α→0且 β→0）。

如果

$$
\lim _{x\rightarrow a }\dfrac{α}{β}=0
$$

，则称 α是 β的高阶无穷小，记作 α=o(β)。即α的收敛速度比 β快。

如：

$$
\lim _{x\rightarrow 0 }\dfrac{x^{2}}{3x}=0
$$

x^2比3x收敛速度快，则x^2是3x的高阶无穷小，记作

$$
x^{2}=o(3x)
$$

4）低阶无穷小

设 α 和 β 是两个无穷小量。

如果

$$
\lim _{x\rightarrow a }\dfrac{α}{β}=\infty
$$

，则称 α 是 β 的低阶无穷小。

5）同阶无穷小

设 α 和 β 是两个无穷小量。

如果

$$
\lim _{x\rightarrow a }\dfrac{α}{β}=c（其中 c 是一个非零常数）
$$

，则称 α 和 β 是同阶无穷小。

6）等价无穷小

设 α 和 β 是两个无穷小量（即当 x→a 时， α→0且 β→0）。

如果

$$
\lim _{x\rightarrow a }\dfrac{α}{β}=1
$$

，则称 α 和 β 是等价无穷小，记作 α∼β。

7）k阶无穷小

设 α和 β 是两个无穷小量，且

$$
β=o(x^{k}) 当 x→0
$$
如果

$$
\lim _{x\rightarrow a }\dfrac{α}{β^{k}}=c（其中 c 是一个非零常数）
$$

，则称 α 是 β 的 k 阶无穷小。

⑦，无穷大极限

函数 f(x) 当 x趋于无穷大时，如果存在一个常数 A，使得对于任意小的正数 ϵ，总存在一个正数 X，使得当 ∣x∣>X 时， ∣f(x)−A∣<ϵ，则我们说 f(x) 当 x 趋于无穷大时的极限是 A。

具体分类：
1. 当 x→+∞ 时的极限：
  - 如果存在一个常数 A，使得对于任意小的正数 ϵ，总存在一个正数 X，使得当 x>X时， ∣f(x)−A∣<ϵ，则我们说 f(x)当 x→+∞ 时的极限是 A，记作
    
    $$
    \lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)=A
    $$
2. 当 x→−∞时的极限：
  - 如果存在一个常数 A，使得对于任意小的正数 ϵ，总存在一个正数 X，使得当 x<−X时， ∣f(x)−A∣<ϵ，则我们说 f(x) 当 x→−∞时的极限是 A，记作
    
    $$
    \lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)=A
    $$
⑧，极限存在准则

1）单调有界准则

如果函数 f(x)在某个区间上单调递增且有上界，或者单调递减且有下界，那么该函数在该区间上必定有极限。

eg3：

例子

$$
\lim _{x\rightarrow \infty }(1+\dfrac{1}{x})^{x}=e
$$

证明：需要使用后边讲的洛必达法则
1. 取对数：
  - 设
    
    $$
    y=(1+\dfrac{1}{x})^{x}
    $$
    
    ，则我们需要证明
    
    $$
    \lim _{x\rightarrow \infty }y=e
    $$
- 取自然对数，得到：
  
  $$
  \ln ^{y}=ln^{(1+\dfrac{1}{x})^{x}}=xln⁡^{(1+\dfrac{1}{x})}
  $$
1. 求极限：
  - 我们需要求
    
    $$
    \lim _{x\rightarrow \infty }xln^{⁡(1+\dfrac{1}{x})}
    $$
- 由于
  
  $$
  ln⁡(1+\dfrac{1}{x})
  $$
  
  在 x→∞时趋近于 0，这是一个 ∞⋅0型不定式。
- 使用洛必达法则，设
  
  $$
  u=\dfrac{1}{x}
  $$
  
  ，则
  
  $$
  x=\dfrac{1}{u}
  $$
  
  ，当 x→∞x→∞ 时， u→0。
- 因此，极限变为：
  
  $$
  \lim _{u\rightarrow 0 }\dfrac{ln^{⁡(1+u)}}{u}
  $$
1. 洛必达法则：
  
  对分子和分母分别求导，得到：
  
  $$
  \lim _{u\rightarrow 0}\dfrac{\dfrac{d}{du}\ln(1+u)}{\dfrac{d}{du}u}=\lim _{u\rightarrow 0}\dfrac{\dfrac{1}{1+u}}{1}=\lim _{u\rightarrow 0}\dfrac{1}{1+u}=1
  $$
因此，

$$
\lim _{x\rightarrow \infty }ln^{y}=\lim _{x\rightarrow \infty }ln^{(1+\dfrac{1}{x})^{x}}=1
$$

由于

$$
ln⁡^{y}=1
$$

，所以 y=e。

因此，

$$
\lim _{x\rightarrow \infty }y=\lim _{x\rightarrow \infty }(1+\dfrac{1}{x})^{x}=e
$$

这个极限公式是比较重要的，在该公式中需要注意：

1.一定是

$$
(1+\dfrac{1}{x})^{x}
$$

不能是减号，如果不是，则需要转化为

$$
(1+\dfrac{1}{x})^{x}
$$

例如：

$$
(1-\dfrac{2}{x})^{x}=(1+\dfrac{2}{-x})^{x}=(1+\dfrac{1}{\dfrac{-x}{2}})^{x}=[(1+\dfrac{1}{\dfrac{-x}{2}})^{\dfrac{-x}{2}}]^{-2}
$$

所以，

$$
\lim _{x\rightarrow \infty }(1-\dfrac{2}{x})^{x}=\lim _{x\rightarrow \infty }[(1+\dfrac{1}{\dfrac{-x}{2}})^{\dfrac{-x}{2}}]^{-2}=e^{-2}
$$

另外：

$$
\lim _{x\rightarrow \infty }(1+\dfrac{1}{x})^{x}=e
$$

的变形公式：

$$
\lim _{x\rightarrow 0 }(1+x)^{\dfrac{1}{x}}=e
$$

补充：

洛必达法则：

假设 f(x) 和 g(x) 是两个函数，并且在某个点 a 的某个去心邻域内可导（即 f′(x)和 g′(x)存在），并且 g′(x)≠0在这个去心邻域内。如果：

$$
\lim _{⁡x→a}f(x)=0 且 \lim⁡ _{x→a}g(x)=0
$$

，或者
$$
\lim⁡ _{x→a}f(x)=±∞ 且 \lim⁡ _{x→a}g(x)=±∞
$$

，

那么：

$$
\lim⁡ _{x→a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim⁡ _{x→a}\dfrac{f′(x)}{g′(x)}
$$

如果右边的极限存在（或为无穷大），则左边的极限也存在（或为无穷大）。

2）夹逼定理

如果 f(x)≤g(x)≤h(x) 在 x=a 的某个去心邻域内成立，且

$$
\lim _{x\rightarrow a }f(x)=\lim _{x\rightarrow a }h(x)=L
$$

，则

$$
\lim _{x\rightarrow a }g(x)=L
$$

eg4：当x→0时，

$$
\lim _{x\rightarrow 0 }\dfrac{sinx}{x}=1
$$

可以使用夹逼定理证明：

根据下图可知：在单位圆上，当x趋近于0时，假设x 是从原点到角度 x 的弧长，而 sin⁡(x)是从原点到角度 x的弦长，tan(x) 是从原点到角度 xx 的切线长度，从而：

sinx <x< tanx，同除以sinx，

$$
1<\dfrac{x}{sinx}<\dfrac{tanx}{sinx}=\dfrac{1}{cosx}
$$

分子分母取倒数，

$$
cosx<\dfrac{sinx}{x}<1
$$

由于

$$
\lim _{x\rightarrow 0 }cosx=1,\lim _{x\rightarrow 0 }1=1
$$

所以根据夹逼定理，

$$
\lim _{x\rightarrow 0 }\dfrac{sinx}{x}=1
$$

⑦，函数的连续性

1）在某点的连续性：

设函数 f(x)在点 x=a的某个邻域内有定义。

如果

$$
\lim _{x\rightarrow a }f(x)=f(a)
$$

，则称函数 f(x) 在点 x=a 处连续。

$$
\begin{cases}1.在a处函数有极限\\2.在a处函数有定义\\3.在a处极限等于函数值\end{cases}
$$

2）左连续：

设函数 f(x) 在点 x=a 的左侧有定义（即存在一个 δ>0，使得 (a−δ,a)内的所有 x 都有定义）。

如果

$$
\lim _{x\rightarrow a^{-} }f(x)=f(a)
$$

，则称函数 f(x) 在点 x=a处左连续。

3）右连续：

设函数 f(x) 在点 x=a 的右侧有定义（即存在一个 δ>0，使得 (a,a+δ)内的所有 x 都有定义）。

如果

$$
\lim _{x\rightarrow a^{+} }f(x)=f(a)
$$

，则称函数 f(x)在点 x=a 处右连续。

4）连续的充要条件

函数连续的充要条件：函数左右连续。

在区间的连续性：

如果函数 f(x) 在区间 (a,b) 内的每一点都连续，则称函数 f(x)在区间 (a,b) 内连续。

如果函数 f(x) 在区间 [a,b] 内的每一点都连续，并且在左端点 x=a 处右连续，在右端点 x=b 处左连续，则称函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续。

5）性质：

局部性质：

如果函数 f(x) 在点 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a的某个邻域内有界。

全局性质：

如果函数 f(x) 在区间 [a,b]上连续，则 f(x)在该区间上有界。

如果函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，则 f(x) 在该区间上达到最大值和最小值。

如果函数 f(x)在区间 [a,b]上连续，并且 f(a)和 f(b)异号，则存在 c∈(a,b)使得 f(c)=0（零点定理）。