HDOJ 2516 取石子游戏 Fibonacci Nim

取石子游戏

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Problem Description

1堆石子有n个,两人轮流取.先取者第1次可以取任意多个，但不能全部取完.以后每次取的石子数不能超过上次取子数的2倍。取完者胜.先取者负输出"Second win".先取者胜输出"First win".

 

Input

输入有多组.每组第1行是2<=n<2^31. n=0退出.

 

Output

先取者负输出"Second win". 先取者胜输出"First win". 
参看Sample Output.

 

Sample Input

  
  

   
   2
13
10000
0
  
  

 

Sample Output

  
  

   
   Second win
Second win
First win
  
  

 

Source

ECJTU 2008 Autumn Contest

 

Recommend

lcy

 

看到2^31的数据规模，就知道要找数学规律……先做PN表

先手拿大于等于总数1/3纯作死……所以在2/3n-n之间找状态

话说P状态很像斐波拉契数列啊……

百度下，这个叫斐波拉契博弈  ⊙﹏⊙b汗

斐波那契博弈（Fibonacci Nim）


有一堆个数为n(n>=2)的石子，游戏双方轮流取石子，规则如下：

1)先手不能在第一次把所有的石子取完，至少取1颗；

2)之后每次可以取的石子数至少为1，至多为对手刚取的石子数的2倍。

约定取走最后一个石子的人为赢家，求必败态。

结论：当n为Fibonacci数的时候，必败。

f[i]：1,2,3,5,8,13,21,34,55,89……


用第二数学归纳法证明：

为了方便，我们将n记为f[i]。

1、当i=2时，先手只能取1颗，显然必败，结论成立。

2、假设当i<=k时，结论成立。

则当i=k+1时，f[i] = f[k]+f[k-1]。

则我们可以把这一堆石子看成两堆，简称k堆和k-1堆。

（一定可以看成两堆，因为假如先手第一次取的石子数大于或等于f[k-1]，则后手可以直接取完f[k]，因为f[k] < 2*f[k-1]）

对于k-1堆，由假设可知，不论先手怎样取，后手总能取到最后一颗。下面我们分析一下后手最后取的石子数x的情况。

如果先手第一次取的石子数y>=f[k-1]/3，则这小堆所剩的石子数小于2y，即后手可以直接取完，此时x=f[k-1]-y，则x<=2/3*f[k-1]。

我们来比较一下2/3*f[k-1]与1/2*f[k]的大小。即4*f[k-1]与3*f[k]的大小，对两值作差后不难得出，后者大。

所以我们得到，x<1/2*f[k]。

即后手取完k-1堆后，先手不能一下取完k堆，所以游戏规则没有改变，则由假设可知，对于k堆，后手仍能取到最后一颗，所以后手必胜。

即i=k+1时，结论依然成立。


那么，当n不是Fibonacci数的时候，情况又是怎样的呢？

这里需要借助“Zeckendorf定理”（齐肯多夫定理）：任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。

关于这个定理的证明，感兴趣的同学可以在网上搜索相关资料，这里不再详述。

分解的时候，要取尽量大的Fibonacci数。

比如分解85：85在55和89之间，于是可以写成85=55+30，然后继续分解30,30在21和34之间，所以可以写成30=21+9，

依此类推，最后分解成85=55+21+8+1。

则我们可以把n写成 n = f[a1]+f[a2]+……+f[ap]。（a1>a2>……>ap）

我们令先手先取完f[ap]，即最小的这一堆。由于各个f之间不连续，则a(p-1) > ap + 1，则有f[a(p-1)] > 2*f[ap]。即后手只能取f[a(p-1)]这一堆，且不能一次取完。

此时后手相当于面临这个子游戏（只有f[a(p-1)]这一堆石子，且后手先取）的必败态，即先手一定可以取到这一堆的最后一颗石子。

同理可知，对于以后的每一堆，先手都可以取到这一堆的最后一颗石子，从而获得游戏的胜利。

#include <iostream>
using namespace std;

long long f[60],n;
int i;

int main()
{
	f[0]=0; f[1]=1;
	for (i=2;i<55;++i)
		f[i]=f[i-1]+f[i-2];
	
	while (cin>>n && n){
		for (i=3;n!=f[i] && i<54;++i);
		if (n==f[i])
			cout<<"Second win\n";
		else
			cout<<"First win\n";
	}
	
	return 0;
} 

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#include <fstream>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int M = 2310;
const int T = 1;

int map[M][M];
double temp;

struct node{
	double avg,cha;
	int x,y;
}po[M*M];

bool cmp(node a,node b){
	return a.cha<b.cha;
}

int main()
{
	ifstream cin("2400.txt");
	ofstream cout("2400-1.txt");
	for (int i=0;i<2300;++i)
		for (int j=0;j<2300;++j)
			cin>>map[i][j];
	int no=-1;
			
	for (int i=0;i<2200;i+=T)
		for (int j=0;j<2200;j+=T){
			temp=0; ++no;
			po[no].y=i+50; po[no].x=j+50;
			for (int i1=0;i1<100;++i1)
				for (int j1=0;j1<100;++j1)
					temp+=map[i+i1][j+j1];
			po[no].avg=temp/10000;
			temp=0;
			for (int i1=0;i1<100;++i1)
				for (int j1=0;j1<100;++j1)
					temp+=(po[no].avg-map[i+i1][j+j1])*(po[no].avg-map[i+i1][j+j1]);
			po[no].cha=sqrt(temp/10000);
		}
	cout<<no<<endl;
	
	sort(po,po+no,cmp);
	for (int i=0;i<=100000;++i)
		cout<<po[i].y<<' '<<po[i].x<<" : "<<po[i].avg<<' '<<po[i].cha<<endl;
	
	return 0;
}