三维空间直线与直线的交点

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#几何学 #线性代数 #概率论

于 2022-06-19 11:37:27 首次发布

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该博客详细介绍了如何在三维空间中求解两条直线的交点。首先判断直线是否不平行且共面，然后利用正弦定理建立方程，通过求解得出可能的交点。内容涉及向量的乘法、叉乘、点乘及单位化，并提供了计算步骤和特殊情况处理。

已知

三维空间中两个直线
直线1：方向 $V_{1}$ 直线上的任意一个点 $P_{1}$
直线2：方向 $V_{2}$ 直线上的任意一个点 $P_{2}$
为了方便计算上面的方向向量 $V$ 均为单位向量
（从这里可以看出其实描述一个直线线只用5个数就可以了，这个跟本文无关只是白话一下）
示意图如

在这里插入图片描述

求解过程

下文中 $∗×⋅unit()mod()*\times\centerdot unit()mod()$ 分别表示乘、叉乘、点乘、取单位向量、取向量的模
首先应该确保两个直线不平行，且共面
不平行判断 $∣V1×V2∣≠0|V_{1}\times V_{2}|\not=0$ 或者 $∣V1⋅V2∣∣V1∣∗∣V2∣≠1\frac{|V_{1}\centerdot V_{2}|}{|V_{1}|* |V_{2}|} \not= 1$
共面判断 $(V1×V2)⋅(P2−P1)==0(V_{1}\times V_{2})\centerdot(P_{2}-P_{1})==0$
注意这里还要判断 $P_1==P_2$ 如果相等了就直接返回结果就行

满足上面的条件后假设交点为 $P_{X}$
$P_X=P_1+k1*V1$
或者 $P_X=P_2+k2*V2$

$P_1 P_2 P_X$ 三点构成三角形必然满足正弦定理

$mod(P1−P2)sin(∠P1PXP2)=mod(PX−P1)sin(∠P1P2PX)\frac{mod(P_1-P_2)}{sin(\angle P_1P_XP_2)} =\frac{mod(P_X-P_1)}{sin(\angle P_1P_2P_X)}$

其中 $sin(∠P1PXP2)=mod(V2×V1)sin(\angle P_1P_XP_2) = mod(V_2\times V_1)$ (因为是单位向量所以直接取模)
同理 $sin(∠P1P2PX)=mod(V2×unit(P1−P2))sin(\angle P_1P_2P_X) =mod(V2\times unit(P_1-P_2))$
因为 $P_X=P_1+k1*V_1$
所以 $mod(P_X-P_1) = |k1|$
重新整理可以得到