一文概览相机模型

原创：杨其泓

引言

随着智能手机的发展，用手机拍摄照片已经称为大众日常生活中的一部分。对准被拍摄的物体，按下快门，一张美丽的照片就拍摄完成了。不知你有没有想过，如此简单的一个过程，从原理上是如何实现的呢？三维世界中的物体是怎么映射到二维的图像上的呢？这个映射关系与什么参数相关呢？下面我将针对相机模型的问题，为大家一一进行解答。

四大坐标系

在学习相机模型之前，我们首先要了解 “四大坐标系”。有的同学可能会想，不就是从空间映射到图片吗，这么简单的过程怎么会用到四个坐标系？其实还真的用！

1. 世界坐标系：世界坐标系顾名思义，就是我们所生活的三维世界的坐标系，它具备X, Y, Z三个轴，分别对应物体的长宽高，在计算中一般会把这个坐标系标记为$(X_w,Y_w,Z_w{)}^T$，其中w代表world。世界坐标系的原点和坐标轴方向可以自行选定，坐标系的单位可为米或厘米（现实物理单位即可）。
2. 相机坐标系：相机坐标系与世界坐标系类似，也是以现实世界为尺度的坐标系。它也具备X, Y, Z三个轴，分别对应物体的长宽高，但与世界坐标系不同的是，相机坐标系的原点固定在相机光圈位置，其Z轴指向相机外侧（垂直于光圈），X轴为水平方向（指向无所谓），Y轴为竖直方向（指向无所谓）。在计算中一般会把这个坐标系标记为$(X_c,Y_c,Z_c{)}^T$，其中c代表camera。
3. 图像坐标系：相机坐标系中的每一个“点”经小孔成像后，就会映射到图像坐标系上（小孔可以理解为相机镜头，坐标系位置可以理解为感光元件位置）。图像坐标系的坐标原点为图像平面的中心点，X轴和Y轴分别平行于图像平面的两条垂直边，图像坐标系是一个二维坐标系，没有X轴，因此图像坐标系在计算中一般用$(X_i,Y_i{)}^T$来表示，其中i代表image。图像坐标系的单位依旧使用物理单位。
4. 像素坐标系：像素坐标系就是我们实际看到的图片的坐标系，它的原点是左上角，X轴和Y轴分别代表图片的宽和高，像素坐标系在计算中一般用$(W_p,H_p{)}^T$来表示，其中p代表pixel。像素坐标系就是以像素为单位的坐标系。

坐标运算

了解了四大坐标系分别是什么意思之后，就可以开始进行坐标运算了，我们需要一步步的将世界坐标逐渐转化为像素坐标，转化过程如下：

世界坐标系 —> 相机坐标系

我们知道，相机坐标系与世界坐标系是十分类似的，唯一的区别就是坐标系原点与坐标轴方向的区别，因此世界坐标系中的任意一个点，都可以通过旋转与平移的方式对应到相机坐标系中。我们称这种变化方式为刚体变换。

二维

同学们在九年义务教育中一定学习过三角函数，下面我将用二维世界中的平移与旋转作为开头，为大家引出三维坐标系下的平移旋转计算方法。

如上图所示，坐标系原点为$O(0,0)$，我们要将坐标系中的$P(x,y)$点，以原点为轴，旋转$\theta$角后到达$P_1(x_1,y_1)$点，由于旋转并不好改变点到原点之间的距离，因此$P$点与$P_1$点到原点的距离都是$r$，我们暂时把$P_1$点与横坐标之间的夹角记为$\alpha$，可得：
$$x_1=rcos\alpha$$
$$y_1=rsin\alpha$$

$$x=rcos(\alpha -\theta )=r(cos\alpha cos\theta +sin\alpha sin\theta )$$
$$x=rsin(\alpha -\theta )=r(sin\alpha cos\theta -cos\alpha sin\theta )$$

将$x_1,y_1$的表达式带入上式可得：
$$x=x_{1}cos\theta +y_{1}sin\theta$$
$$y=y_{1}cos\theta -x_{1}sin\theta$$
此时可以把上式写做旋转矩阵R：
$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}cos\theta & sin\theta & 0\\ -sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right][\begin{array}{c}\end{array}$$