动态规划经典——石子归并

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1.链式归并

 

问题描述

设有N堆沙子排成一排，其编号为1,2,3,…,N(N<=100)。每堆沙子有一定的数量。现要将N堆沙子并成为一堆。归并的过程只能每次将相邻的两堆沙子堆成一堆，这样经过N-1次归并后成为一堆。找出一种合理的归并方法，使总的代价最小。

【输入格式】

    输入由若干行组成，第一行有一个整数，n（1≤n≤100）；表示沙子堆数。第2至m+1行是每堆沙子的数量。 

【输出格式】

    一个整数，归并的最小代价。

【输入样例】

输入文件名：shizi.in

7
13
7
8
16
21
4
18

【输出样例】

输出文件名：shizi.out

239

令f[i,j]表示归并第i个数到第j数的最小代价,sum[i,j]表示第i个数到第j个数的和，这个可以事先计算出来。sum[i,j]可以在O(1)的时间内算出.
容易的到以下的动态转移方程：

阶段：以归并石子的长度为阶段，一共有n-1个阶段。
状态：每个阶段有多少堆石子要归并，当归并长度为2时，有n-1个状态；
当归并长度为3时，有n-2个状态；
当归并长度为n时，有1个状态。
决策：当归并长度为2时，有1个决策；当归并长度为3时，有2个决策；
当归并长度为n时，有n-1个决策。

 

[c-sharp] view plain copy print ?

1. #include <iostream>     
2. using namespace std;  
3. #define M 101  
4. #define INF 1000000000  
5. int n,f[M][M],sum[M][M],stone[M];  
6. int main()  
7. {  
8.     int i,j,k,t;  
9.     cin>>n;  
10.     for(i=1;i<=n;i++)  
11.         scanf("%d",&stone[i]);  
12.   
13.     for(i=1;i<=n;i++)  
14.     {  
15.         f[i][i]=0;  
16.         sum[i][i]=stone[i];  
17.         for(j=i+1;j<=n;j++)  
18.             sum[i][j]=sum[i][j-1]+stone[j];  
19.     }  
20.   
21.     for(int len=2;len<=n;len++)//归并的石子长度  
22.     {  
23.         for(i=1;i<=n-len+1;i++)//i为起点，j为终点  
24.         {  
25.             j=i+len-1;  
26.             f[i][j]=INF;  
27.             for(k=i;k<=j-1;k++)  
28.             {  
29.                 if(f[i][j]>f[i][k]+f[k+1][j]+sum[i][j])  
30.                     f[i][j]=f[i][k]+f[k+1][j]+sum[i][j];  
31.             }  
32.         }  
33.     }  
34.     printf("%d/n",f[1][n]);    
35.     return 0;  
36. }  

#include <iostream>   using namespace std;#define M 101#define INF 1000000000int n,f[M][M],sum[M][M],stone[M];int main(){ int i,j,k,t; cin>>n; for(i=1;i<=n;i++)  scanf("%d",&stone[i]); for(i=1;i<=n;i++) {  f[i][i]=0;  sum[i][i]=stone[i];  for(j=i+1;j<=n;j++)   sum[i][j]=sum[i][j-1]+stone[j]; } for(int len=2;len<=n;len++)//归并的石子长度 {  for(i=1;i<=n-len+1;i++)//i为起点，j为终点  {   j=i+len-1;   f[i][j]=INF;   for(k=i;k<=j-1;k++)   {    if(f[i][j]>f[i][k]+f[k+1][j]+sum[i][j])     f[i][j]=f[i][k]+f[k+1][j]+sum[i][j];   }  } } printf("%d/n",f[1][n]);   return 0;}

 

 

[算法优化]

 见 http://it.dgzx.net/drkt/oszt/zltk/yxlw/dongtai3.htm

 

优化后，无非加了一个s[i,j] 记录i...j之间f[i,j]为最优状态的分割点

[c-sharp] view plain copy print ?

1. #include <iostream>     
2. using namespace std;  
3. #define M 101  
4. #define INF 1000000000  
5. int n,f[M][M],sum[M][M],stone[M],s[M][M];  
6. int main()  
7. {  
8.     int i,j,k,t;  
9.     cin>>n;  
10.     for(i=1;i<=n;i++)  
11.         scanf("%d",&stone[i]);  
12.   
13.     for(i=1;i<=n;i++)  
14.     {  
15.         f[i][i]=0;  
16.         s[i][i]=i;  
17.         sum[i][i]=stone[i];  
18.         for(j=i+1;j<=n;j++)  
19.             sum[i][j]=sum[i][j-1]+stone[j];  
20.     }  
21.   
22.     for(int len=2;len<=n;len++)//归并的石子长度