48、拟合退化简化数据中的最优节点选择

拟合退化简化数据中的最优节点选择

1. 引言

数据拟合是一个经典问题，有许多插值技术可用于解决该问题。在经典情况下，大多数插值方案需要一组输入点 $M_n = {x_n} {i = 0}^n$ 以及对应的插值节点 $T = {t_i} {i = 0}^n$。然而，对于所谓的简化数据，仅给出了点 $M_n$，这使得数据拟合和建模问题变得复杂。不同的插值节点选择会产生不同的曲线。

一种替代未知节点 $T_{n - 1} = (t_1, t_2, \ldots, t_{n - 1})$ 的方法是最小化 $\int_{t_0}^{t_n} |\ddot{\gamma} {NS}(t)|^2dt$，其中 $\gamma {NS} : [0, T] \to E^m$ 是基于 $M_n$ 和 $T_{n - 1}$ 定义的自然样条。这可以转化为最小化以下多元成本函数：
[
J(t_1, t_2, \ldots, t_{n - 1}) = 4 \sum_{i = 0}^{n - 1} \left[-\frac{1}{(\Delta t_i)^3} \left(-3|x_{i + 1} - x_i|^2 + 3\langle v_i + v_{i + 1}|x_{i + 1} - x_i\rangle\Delta t_i - (|v_i|^2 + |v_{i + 1}|^2 + \langle v_i|v_{i + 1}\rangle)(\Delta t_i)^2\right)\right]
]
其中 ${v_i}_{i = 0}^n$ 表示 $M_n$ 处的相应速度。这是一个高度非线性的多元优化任务，难以分析和数值求解。