5、统计与战略决策及含观测的决策问题解析

统计与战略决策及含观测的决策问题解析

1. 统计与战略决策基础

在决策问题中，我们常常面临着未知的结果或参数，需要依据一定的信息来做出最优决策。这里先介绍一些基本概念和相关理论。

1.1 效用与遗憾值

首先来看一个简单的例子，有如下的效用表：
| | ω1 | ω2 |
| — | — | — |
| a1 | 1 | -1 |
| a2 | 0 | 0 |

这里的 (U) 表示效用，(\omega) 代表可能的状态，(a) 表示我们可以采取的行动。同时，有一个重要的备注：(L(\omega, \sigma) = -U(\omega, \sigma)) 当且仅当 (\max_{a} U(\omega, a) = 0)。证明过程如下：如果 (\max_{\sigma’} U(\omega, \sigma’) - U(\omega, \sigma) = -U(\omega, \sigma))，那么 (\max_{\sigma’} U(\omega, \sigma’) = \max_{a} U(\omega, a) = 0)，反之亦然。

对于一个策略 (\sigma) 的最大遗憾值，以这个简单的例子来说，其遗憾值表如下：
| | ω1 | ω2 |
| — | — | — |
| a1 | 0 | 1 |
| a2 | 1 | 0 |

策略 (\sigma) 的最大遗憾值可以表示为：
(\max_{\omega} L(\omega, \sigma) = \max_{\omega} \sum_{a} \sigma(a)L(\omega,