22、机器人运动学、轨迹生成与动力学控制解析

机器人运动学、轨迹生成与动力学控制解析

1. 受控轨迹系统的优势与应用

受控轨迹系统让许多在其他模式下编程繁琐的机器人应用变得更加容易。比如在机床上下料任务中，通过协调轴控制，对大型工件在车床两顶尖间定位所需的复杂动作进行编程就更为轻松。在熔化极惰性气体保护焊（MIG）中，按编程点形成的直线轨迹能使焊缝比手动焊接更直，而且控制速度这一特性，由于焊枪尖端运动平稳均匀，还能提高焊接质量和一致性。

2. 基于约束的轨迹分析

2.1 轨迹基本形式

机械手关节运动的时间历程可以用基于约束的轨迹来描述。对于机械手在两种构型下的位置约束，可由以下形式的轨迹满足：
[e(t) = f(t) e_1 + (1 - f(t)) e_0]
其中，(f(0) = 0)，(f(1) = 1)，(e_0)和(e_1)分别是关节变量在(t = 0)和(t = 1)时刻的值，且函数(f(t))需连续。

2.2 不同类型的轨迹函数

• 简单线性函数 ：最简单的函数(f(t) = t)，可得(e(t) = te_1 + (1 - t)e_0)。不过该函数存在一些缺点，如速度为常数，无法在轨迹的两个边界独立指定速度，运动间还需要无穷大的加速度，并且关节解(e(t))可能并不总在工作空间内。
• 三次多项式轨迹 ：具有对称形式的三次多项式轨迹能满足初始和最终速度的额外约束，但不包含最大可达到速度的条件，且加速度不能独立指定。
• 五次多项式轨迹 ：五次多项式不仅能满足速度和位置约束，还能指定轨迹两端的加速度。其方程为：
  [e(t) = e_0 + w_0t + \frac{1}{2}a_0t^2 + t^3 [e_1 + (3e_1 - w_1)(1 - t) + (a_1 - 6w_1 + 12e_1) (1 - t)^2]]
• 余弦轨迹 ：满足速度约束的余弦轨迹方程为：
  [e(t) = \frac{t}{\pi} { 2w_0 [ \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi} \cos(\pi t)] + \pi e_0 + \frac{2w_1}{\pi} \cos(\pi(1 - t))}]
• Bang - Bang轨迹 ：具有最大加速度和减速度的Bang - Bang轨迹方程为：
  [e(t) =
  \begin{cases}
  \frac{1}{2}at^2, & 0 \leq t \leq \frac{1}{2} \
  e_1 - \frac{1}{2}a(1 - t)^2, & \frac{1}{2} \leq t \leq 1
  \end{cases}
  ]

2.3 约束满足轨迹的优缺点

约束满足轨迹的优点是只需满足初始和最终条件，但缺点是轨迹约束较弱，因为起始和结束位置之间的运动未受控制。不过，像三次样条这样的插值方案能使机械手运动避开障碍物。

2.4 典型轨迹特征

机械手的任何运动，典型的轨迹特征通常包括：
1. 初始加速阶段；
2. 恒速阶段；
3. 最终减速阶段。

这种轨迹运动学常见于具有计算路径生成能力的机器人中。在这种轨迹规划中，控制计算机的计算能力用于定义包含示教点之间速度和加速度的路径。若使用直线路径，可在不产生离心力和科里奥利力的情况下平稳转移重物。对速度和加速度的控制，既能使用高速以减少整体任务周期时间，又能通过减少急动和相应的高力来提高机器人的使用寿命。

3. 工业机器人编程特征

3.1 喷漆机器人编程特征

教学方法	型号	类型	应用	特殊功能
CP	RCP 705、855、856	适用于相对低速喷漆，如喷枪喷漆速度达 500mm/sec	每个软盘最多 72 个程序，每张盘最大工作时间 24 分钟，可对静止或移动对象喷漆
PTP(S)	RPS 705、855、856、846E、846F	适用于在转盘上放置的静止对象的中高速喷漆	每个软盘最多 72 个程序，5 轴类型每个软盘最多 11,808 个存储点，6 轴类型每个软盘最多 9,792 个存储点，可轻松部分修改程序以纠正错误
PTP(M)	RPM 705、855、856、846E、846F	有两种型号，PTP(S) 用于等距示教，PTP(M) 用于不等距示教	主存储器为 P - ROM 和 RAM（5 轴类型 2,800 点，6 轴类型 2,300 点），辅助存储器为软盘，具备程序编辑和复制功能
PTP(Z)	RPZ 705、855、856	适用于在传送带等上移动对象的中高速喷漆	每个软盘最多 72 个程序
CP + PTP(S)	RCS 705、855、856	兼具 CP 和 PTP(S) 功能	每个软盘最多 11,808 个存储点（5 轴类型），最多 9,792 个存储点（6 轴类型），主存储器为 P - ROM 和 RAM（5 轴类型 1300 点，6 轴类型 1000 点），辅助存储器为软盘，具备程序编辑和复制功能
CP + PTP(M)	RCM 705、855、856	兼具 CP 和 PTP(M) 功能	可通过简单切换开关选择功能
CP + PTP(Z)	RCZ 705、855、856	兼具 CP 和 PTP(Z) 功能	可通过简单切换开关选择功能
CP + PTP(M) + PTP(Z)	RPA 705、855、856	具备 CP、PTP(M) 和 PTP(Z) 所有功能	可通过简单切换开关选择功能

3.2 部分机器人编程控制方法

编程方法	机械设置	机器人	控制方式
机械设置	非伺服	Mack Corporation BASE Robot、Mobot Columnar	P
机械设置	伺服	Seiko Instruments Rimrock	P
手持示教器		Acco Jolly 8、ASEA IR6 - 6、Bendix SL 330、Binks、Prab Robot F6、Thermwood Series 3、DeVilbiss TR 3600S、Nordson Robot System、Planet Armax、Prab Robot 4200、Thermwood Series 6	P、C, P、C、C, P、C、C, P

3.3 焊接机器人编程控制特征

项目	详情
型号	IRBC - 101
运动控制	通过 PTP 示教实现 CP 控制，具备线性和圆形插值
控制轴	5 轴同时控制
存储系统	IC 存储器和盒式磁带录音机
存储容量	标准示教条件下约 800 个示教点，最多 100 个程序存储在存储器中
焊接速度控制	数字设定值（cm/min）
焊接条件控制	通过数字键盘设定
焊接条件及设置范围	焊接电流 30 - 35A（2A 步进），电弧电压 10 - 50V（0.2V 步进），焊接速度 10 - 200cm/min（1cm/min 步进），预流时间和后流时间 0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0 秒，停留时间和填坑时间 0 - 9.9 秒（0.1 秒步进），摆动宽度 0 - 20mm（1mm 步进），摆动频率最大 3Hz（0.1Hz 步进），两端停留时间 0 - 9.9 秒（0.1 秒步进）
输入/输出线用于夹具控制	10 对输入/输出通道（可扩展至 100 对通道 - 可选）
外部存储设备电源	交流单相 1.5kVA

4. 机器人动力学分析方法

机器人动力学可通过两种技术方便地进行公式化：
- 拉格朗日方法 ：利用广义坐标下的动能和势能表达式。
- 牛顿方法 ：这是动态系统中著名的方法。

下面将分别使用这两种方法来确定机器人的关节扭矩和力。

4.1 两连杆机器人的拉格朗日方法

4.1.1 动能和势能表达式

考虑如图所示的两连杆机器人，对于质量(m_1)，其动能和势能表达式为：
[K_1 = \frac{1}{2}m_1l_1^2\dot{\theta}_1^2]
[P_1 = m_1gl_1\cos\theta_1]

质量(m_2)的坐标为：
[x_2 = l_1\cos\theta_1 + l_2\cos(\theta_1 + \theta_2)]
[y_2 = l_1\sin\theta_1 + l_2\sin(\theta_1 + \theta_2)]

速度分量为：
[\dot{x}_2 = -l_1\dot{\theta}_1\sin\theta_1 - l_2(\dot{\theta}_1 + \dot{\theta}_2)\sin(\theta_1 + \theta_2)]
[\dot{y}_2 = l_1\dot{\theta}_1\cos\theta_1 + l_2(\dot{\theta}_1 + \dot{\theta}_2)\cos(\theta_1 + \theta_2)]

动能表达式为：
[K_2 = \frac{1}{2}m_1l_1^2\dot{\theta}_1^2 + \frac{1}{2}m_2l_2^2(\dot{\theta}_1 + \dot{\theta}_2)^2 + m_2l_1l_2\dot{\theta}_1(\dot{\theta}_1 + \dot{\theta}_2)\cos\theta_2]
势能表达式为：
[P_2 = m_2g(l_1\cos\theta_1 + l_2\cos(\theta_1 + \theta_2))]

4.1.2 动态方程

拉格朗日公式中所需的导数可通过(K = K_1 + K_2)和(P = P_1 + P_2)得到。对于关节 1 的扭矩(T_1)：
[\frac{d}{dt}(\frac{\partial K}{\partial \dot{\theta}_1}) = [(m_1 + m_2)l_1^2 + m_2l_2^2 + 2m_2l_1l_2\cos\theta_2]\ddot{\theta}_1 + (m_2l_2^2 + m_2l_1l_2\cos\theta_2)\ddot{\theta}_2 - 2m_2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\sin\theta_2 - m_2l_1l_2\dot{\theta}_2^2\sin\theta_2]
[T_1 = \frac{d}{dt}(\frac{\partial K}{\partial \dot{\theta}_1}) - \frac{\partial K}{\partial \theta_1} + \frac{\partial P}{\partial \theta_1}]

对于关节 2 的扭矩(T_2)：
[T_2 = m_2(l_2^2 + l_1l_2\cos\theta_2)\ddot{\theta}_2 + m_2l_2^2\ddot{\theta}_2 + m_2l_1l_2\dot{\theta}_2^2\sin\theta_2 - m_2gl_2\sin(\theta_1 + \theta_2)]

4.1.3 动态系数

关节扭矩方程可写成：
[T_i = D_{ii}\ddot{\theta} i + \sum {j = 1}^{n}D_{ij}\ddot{\theta} j + \sum {j = 1}^{n}\sum_{k = 1}^{n}D_{ijk}\dot{\theta} j\dot{\theta}_k + D_i]
其中，(D {ii}\ddot{\theta} i)是关节(i)的有效惯性，(D {ij}\ddot{\theta} j)是关节(i)和(j)之间的耦合惯性，(D {ijj}\dot{\theta} j^2)是由于关节(j)的速度在关节(i)处产生的向心力，(D {ijk}\dot{\theta}_j\dot{\theta}_k)是由于关节(j)和(k)的速度在关节(i)处产生的科里奥利力，(D_i)是重力。

两连杆机器人的动态系数为：
[D_{11} = (m_1 + m_2)l_1^2 + m_2l_2^2 + 2m_2l_1l_2\cos\theta_2]
[D_{12} = m_2l_2^2 + m_2l_1l_2\cos\theta_2]
[D_{22} = m_2l_2^2]
[D_{222} = 0]

在配置空间形式下，动态方程为：
[[M(\theta)]\ddot{\theta} + [C(\theta, \dot{\theta})]\dot{\theta} + [G(\theta)] = T]
其中：
[[M(\theta)] =
\begin{bmatrix}
(m_1 + m_2)l_1^2 + m_2l_2^2 + 2m_2l_1l_2\cos\theta_2 & m_2l_2^2 + m_2l_1l_2\cos\theta_2 \
m_2l_2^2 + m_2l_1l_2\cos\theta_2 & m_2l_2^2
\end{bmatrix}]
[[C(\theta, \dot{\theta})] =
\begin{bmatrix}
-2m_2l_1l_2\dot{\theta}_2\sin\theta_2 - m_2l_1l_2\dot{\theta}_2^2\sin\theta_2 & -m_2l_1l_2\dot{\theta}_2^2\sin\theta_2 \
m_2l_1l_2\dot{\theta}_1\sin\theta_2 & 0
\end{bmatrix}]
[[G(\theta)] =
\begin{bmatrix}
(m_1 + m_2)gl_1\sin\theta_1 + m_2gl_2\sin(\theta_1 + \theta_2) \
m_2gl_2\sin(\theta_1 + \theta_2)
\end{bmatrix}]

4.2 三连杆机器人的拉格朗日方法

4.2.1 动能和势能表达式

对于三连杆机器人，质量(M_2)的坐标和速度分量可计算得到其动能和势能表达式。同理，质量(M_3)的坐标和速度分量也可用于计算其动能和势能表达式。

拉格朗日函数(L = K - P)，通过对拉格朗日函数求导可得到关节扭矩方程。

4.2.2 动态系数

三连杆机器人的动态系数也可从动态方程中得到，例如：
[D_{12} = D_{13} = D_1 = 0]
[D_{112} = D_{121} = M_2l_2^2\sin\theta_2\cos\theta_2 + M_3(l_2\sin\theta_2 + l_3\sin(\theta_2 + \theta_3))(l_2\cos\theta_2 + l_3\cos(\theta_2 + \theta_3))]

4.3 分布质量的影响

• 直立柱 ：可建模为高度为(h)、半径为(r_1)的均匀圆柱体，其动能为：
  [K_{column} = \frac{1}{2}m_1q^2\dot{\theta}^2]
  其中，(\frac{1}{2}m_1q^2)是转动惯量。
• 第二连杆 ：建模为质量为(m_2)、长度为(l_2)的细杆，位于连杆 2 上距离为(\alpha)处的微小质量的速度可计算得到，进而得到连杆 2 的动能：
  [K_2 = \frac{1}{2}\int_{0}^{l_2} \frac{M_2}{l_2}(\sin^2\theta_1\dot{\theta}_1^2 + \dot{\theta}_2^2) \alpha d\alpha]
• 第三连杆 ：同理可计算其动能和势能，最终得到扭矩方程。

4.4 其他机器人类型的拉格朗日结果

4.4.1 球形机器人

球形机械手的拉格朗日函数可推导得出，其运动方程和相应的非零动态系数也可确定。

4.4.2 圆柱机器人

考虑关节 3 处的质量(m_2)和连杆 3 末端的负载(m_3)，可得到拉格朗日函数和运动方程，进而得到动态系数，如(D_2 = -(m_2 + m_3)g)。

4.5 牛顿 - 欧拉公式

对于两连杆机器人，牛顿 - 欧拉动态公式所需的运动学量（矢量表示）和动态方程可通过以下步骤得到：
- 角速度和角加速度：
[\omega_1 = \dot{\varphi} 1]
[\omega_2 = \dot{\varphi}_1 + \dot{\varphi}_2]
[\dot{\omega}_1 = \ddot{\varphi}_1]
[\dot{\omega}_2 = \ddot{\varphi}_1 + \ddot{\varphi}_2]
- 力平衡方程：
[\vec{f} {1,2} = \vec{F} 2 + \vec{f} {2,3} + m_2\vec{a} 2]
- 扭矩平衡方程：
[T {1k} = t_{0,1k} - t_{1,2k} + \vec{r} 1^ \times \vec{f}_{0,1} + \vec{r}_2^ \times \vec{f} {1,2}]
通过求解这些方程可得到(t_{1,2})和(t_{0,1})。

5. 机器人动力学分析方法总结

5.1 拉格朗日方法总结

拉格朗日方法通过利用广义坐标下的动能和势能表达式来推导机器人的动态方程。对于不同类型的机器人，如两连杆、三连杆、球形和圆柱机器人，都可以通过该方法得到相应的动态方程和动态系数。以下是拉格朗日方法分析不同机器人的流程：

graph TD
    A[确定机器人类型] --> B[计算动能和势能表达式]
    B --> C[构建拉格朗日函数 L = K - P]
    C --> D[对拉格朗日函数求导得到关节扭矩方程]
    D --> E[从动态方程中确定动态系数]

5.2 牛顿 - 欧拉方法总结

牛顿 - 欧拉方法则是基于牛顿力学原理，通过力平衡和扭矩平衡方程来确定机器人的动态特性。对于两连杆机器人，具体步骤如下：
1. 确定角速度和角加速度；
2. 建立力平衡方程；
3. 建立扭矩平衡方程；
4. 求解方程得到相应的力和扭矩。

5.3 两种方法对比

方法	优点	缺点
拉格朗日方法	公式推导相对系统，适用于多种机器人类型	计算过程可能较为复杂，尤其是对于多连杆机器人
牛顿 - 欧拉方法	物理意义明确，直观体现力和扭矩的平衡关系	对于复杂机器人，方程的建立和求解可能具有挑战性

6. 机器人轨迹规划与动力学控制的综合应用

6.1 轨迹规划与动力学控制的关联

机器人的轨迹规划和动力学控制是相辅相成的。轨迹规划确定了机器人的运动路径和速度，而动力学控制则确保机器人能够按照规划的轨迹准确运动。例如，在喷漆、焊接等应用中，合理的轨迹规划可以提高工作效率和质量，而精确的动力学控制可以保证机器人在运动过程中的稳定性和准确性。

6.2 综合应用案例分析

6.2.1 喷漆机器人

喷漆机器人的轨迹规划需要考虑喷漆对象的形状、尺寸和表面要求，以确保均匀的喷漆效果。动力学控制则需要根据轨迹规划的要求，调整机器人的关节扭矩和速度，避免出现抖动和偏差。以下是喷漆机器人综合应用的步骤：
1. 根据喷漆对象的特点进行轨迹规划，选择合适的教学方法和程序；
2. 利用动力学分析方法确定机器人在轨迹运动过程中的关节扭矩和力；
3. 通过控制系统调整机器人的关节驱动，确保机器人按照规划的轨迹运动；
4. 实时监测机器人的运动状态，根据反馈信息进行调整和优化。

6.2.2 焊接机器人

焊接机器人的轨迹规划需要保证焊缝的直线度和质量，动力学控制则需要确保焊接速度和焊接参数的稳定性。具体步骤如下：
1. 通过 PTP 示教实现 CP 控制，利用线性和圆形插值进行轨迹规划；
2. 根据焊接条件和要求，确定机器人的运动速度和加速度；
3. 利用动力学方程计算关节扭矩，选择合适的驱动系统；
4. 在焊接过程中，实时调整机器人的运动状态，保证焊接质量。

7. 未来发展趋势

7.1 智能化轨迹规划

随着人工智能和机器学习技术的发展，未来机器人的轨迹规划将更加智能化。机器人可以通过学习和分析大量的任务数据，自动生成最优的轨迹规划方案，提高工作效率和质量。

7.2 精确动力学控制

精确动力学控制将是未来的发展方向之一。通过更精确的传感器和控制算法，机器人可以更好地适应不同的工作环境和任务要求，实现更高的运动精度和稳定性。

7.3 多机器人协作

多机器人协作可以提高生产效率和灵活性。未来，多个机器人可以通过协同轨迹规划和动力学控制，共同完成复杂的任务，如大型工件的搬运和装配。

8. 总结

机器人的运动学、轨迹生成和动力学控制是机器人技术的重要组成部分。通过合理的轨迹规划和精确的动力学控制，机器人可以在各种工业应用中发挥重要作用。拉格朗日方法和牛顿 - 欧拉方法为机器人动力学分析提供了有效的工具，不同类型的机器人需要根据其特点选择合适的分析方法。未来，随着技术的不断发展，机器人的智能化和协作能力将不断提高，为工业生产带来更大的变革。