15、数学知识：椭圆曲率、线积分、向量空间与矩阵构建

数学知识：椭圆曲率、线积分、向量空间与矩阵构建

1. 椭圆曲率问题

1.1 椭圆曲率计算

已知椭圆的参数方程，可将其曲率表示为关于参数 (t) 的函数。在此基础上，我们可以进一步探讨曲率的最值情况。

1.2 曲率最值点分析

• 最小值点 ：需要找出使得曲率达到最小的点。
• 最大值点 ：同样要确定曲率达到最大的点。

1.3 速度与曲率最值点的关系

在曲率取得最小值和最大值的点处，分析物体运动的速度情况。

1.4 地球公转相关问题

地球绕太阳公转的轨迹可近似看作椭圆，那么地球在一年中会经过椭圆轨迹上曲率最小和最大的点，需要确定这些点对应的日期。

2. 线积分

2.1 线积分的概念

在基础物理课程中我们了解到，当一个力作用在一个粒子上，使其产生微小位移时，力对粒子所做的微小功是力与位移的标量积，即 (\Delta W = \vec{F} \cdot \Delta \vec{l})。当粒子沿平面曲线 (C) 运动时，就需要引入线积分的概念来计算总功。

2.2 线积分的计算

假设曲线 (C) 由参数方程 (x(t)) 和 (y(t)) 描述，力场向量为 (\vec{F} = P(x,y)\vec{e} x + Q(x,y)\vec{e}_y)，位移元素为 (\Delta \vec{l} = \Delta x\vec{e}_x + \Delta y\vec{e}_y)，则微小功元素可表示为 (\Delta W = P\Delta x + Q\Delta y)。若曲线用参数 (t) 表示，(\Delta W) 可写成关于 (t) 的函数：
(\Delta W = \left(P(t)\frac{dx}{dt} + Q(t)\frac{dy}{dt}\right)\Delta t)
总功则可表示为对 (t) 的积分：
(W = \int {t_0}^{t_1} \left(P(t)\frac{dx}{dt} + Q(t)\frac{dy}{dt}\right)dt)

2.3 作业问题

2.3.1 问题 7.25

计算在力 (\vec{F} = xy\vec{e}_x + (x + y)\vec{e}_y) 的作用下，粒子从点 ((0, 0)) 移动到点 ((3, 9)) 沿以下两条不同路径所做的功：
- 路径 a ：抛物线 (y = x^2)。
- 路径 b ：直线 (y = 3x)。

2.3.2 问题 7.26

已知力场 (\vec{F} = y\vec{e}_x + x\vec{e}_y)，计算粒子从点 ((0, 0)) 移动到点 ((1, 1)) 沿以下曲线所做的功：
- 路径 a ：直线 (y = x)。
- 路径 b ：抛物线 (y = x^2)。
- 路径 c ：曲线 (C)，其参数方程为 (x(t) = t^{3/2})，(y(t) = t^5)。

2.4 保守向量场

若一个向量场的线积分与固定起点和终点之间所选的路径无关，则称该向量场为保守向量场。在向量微积分课程中，会学习判断向量场是否为保守向量场的充要条件。保守向量场的重要性在于它可以从一个标量势推导得出，这一主题将在电磁学课程中进一步讨论。

3. 无限维向量空间

3.1 基本概念

这里主要讨论无限维向量空间，其分量为复数而非实数。我们使用狄拉克符号来强调有限维和无限维向量空间的共性，为了简化处理，在一定程度上牺牲了数学的严谨性。

3.2 希尔伯特空间

希尔伯特空间与前面介绍的向量空间类似，但其元素是函数而非 (n) 维向量。由于函数在空间的每一点都有值（可看作一个分量），而空间是连续的且有无限个点，所以希尔伯特空间是无限维的。

3.3 希尔伯特空间的性质

• 线性性 ：
  • 若 (a) 为常数，(\phi) 是空间中的任意元素，则 (a\phi) 也是该空间的元素。
  • 若 (a) 和 (b) 为常数，(\phi) 和 (\psi) 是空间中的元素，则 (a\phi + b\psi) 同样是该空间的元素。
• 内积 ：对于定义在区间 (t_{min} \leq t \leq t_{max}) 上的函数，内积定义为 (\langle \psi | \phi \rangle = \int_{t_{min}}^{t_{max}} \psi^*(t) \phi(t) dt)。
• 范数 ：空间中任意元素的范数（“长度”）为正，且与内积的关系为 (|\phi|^2 = \langle \phi | \phi \rangle = \int_{t_{min}}^{t_{max}} |\phi(t)|^2 dt)。
• 完备性 ：希尔伯特空间包含其所有的极限点，但此条件较为专业，这里不做进一步讨论。

3.4 希尔伯特空间中的相关概念

• 正交性 ：两个向量 (\psi) 和 (\phi) 正交的条件是 (\langle \psi | \phi \rangle = \int_{t_{min}}^{t_{max}} \psi^*(t) \phi(t) dt = 0)。
• 基向量 ：希尔伯特空间中的任何函数都可以展开为基向量 ({u_n}) 的线性组合，即 (\phi = \sum_{n} c_n u_n)，且基向量满足正交归一关系 (\langle u_m | u_n \rangle = \delta_{m,n})。
• 分解规则 ：为了求出系数 (c_n)，可将展开式与 (\langle u_m |) 做内积，利用正交归一关系可得 (c_m = \langle u_m | \phi \rangle)。
• 范数与分量的关系 ：向量的范数平方等于其分量的模平方之和，即 (|\phi|^2 = \sum_{n} |c_n|^2)。

3.5 应用 1：傅里叶级数

在微积分课程中，我们知道周期为 1（在某些归一化单位下）的函数可以展开为 ({e^{j2\pi nt}}) 的线性组合。这里将熟悉的傅里叶级数结果用上述形式重新表述：
- 基 ：(u_n = e^{j2\pi nt}) 和 (u_n^ = e^{-j2\pi nt})。
- 基向量的正交性 ：(\langle u_m | u_n \rangle = \int_{-1/2}^{1/2} e^{-j2\pi mt} e^{j2\pi nt} dt = \begin{cases} 1, & m = n \ 0, & m \neq n \end{cases})。
- 分解规则 ：(c_n = \int_{-1/2}^{1/2} \phi(t) e^{-j2\pi nt} dt)。
- 帕塞瓦尔恒等式 *：(\int_{-1/2}^{1/2} |\phi(t)|^2 dt = \sum_{n} |c_n|^2)。

3.6 示例 7.9

在一个 RLC 电路中，若电源电势的时间分布是周期为 1 的周期函数，求电容两端的电势差的解析表达式。
- 步骤 1 ：由于电势是周期为 1 的函数，可将其展开为傅里叶级数：(V_s(t) = \text{Re} \left{ \sum_{n} \tilde{V} s^n e^{j2\pi nt} \right})，其中 (\tilde{V}_s^n) 是与频率模式 (2\pi n) 相关的相量。
- 步骤 2 ：求出电容响应相量 (\tilde{V}_c^n)，根据电容电压等于电容阻抗乘以电流相量，可得 (\tilde{V}_c^n = \frac{Z_c^n}{Z_c^n + Z_R^n + Z_L^n} \tilde{V}_s^n)，其中 (Z_c^n = \frac{1}{j2\pi nC})，(Z_L^n = j2\pi nL)，(Z_R^n = R)。
- 步骤 3 ：利用常微分方程系统的线性性质，将解表示为对应每个基函数响应的线性叠加：(V_c(t) = \text{Re} \left{ \sum {n} \frac{Z_c^n}{Z_c^n + Z_R^n + Z_L^n} \tilde{V}_s^n e^{j2\pi nt} \right})。

3.7 作业问题 7.27

考虑一个 RLC 电路，电源电势为 (V_s = V_0 \cos^6(\omega t))。
- 问题 a ：解析地求出电容两端的电势差。提示：将三角函数的幂表示为不同倍数角度的函数。
- 问题 b ：使用第 4 章的技术，数值求解该问题的稳态解，并假设一些归一化单位下的参数值：(LC = 1)，(RC = 1)，(\omega = 2\pi)。
- 问题 c ：比较数值结果和解析结果。

4. 勒让德多项式

4.1 定义与性质

勒让德多项式可以通过生成函数来定义，其生成函数为 (G(x, t) = \frac{1}{\sqrt{1 - 2xt + t^2}} = \sum_{l = 0}^{\infty} P_l(x) t^l)。

4.2 低阶勒让德多项式

通过对生成函数进行小 (t) 展开，可得到低阶勒让德多项式：
- (P_0(x) = 1)
- (P_1(x) = x)

4.3 递归关系

通过对生成函数进行求导和代入验证，可以得到勒让德多项式的递归关系：
- ((l + 1)P_{l + 1}(x) - (2l + 1)xP_l(x) + lP_{l - 1}(x) = 0)
- (x\frac{dP_l(x)}{dx} - \frac{dP_{l - 1}(x)}{dx} = lP_l(x))
- (\frac{dP_{l + 1}(x)}{dx} - x\frac{dP_l(x)}{dx} = (l + 1)P_{l + 1}(x))

4.4 正交性

若 (l \neq m)，则勒让德多项式 (P_l(x)) 和 (P_m(x)) 是正交的，即 (\int_{-1}^{1} P_l(x) P_m(x) dx = 0)。

4.5 归一化

计算勒让德多项式的归一化系数，可得 (\int_{-1}^{1} P_l^2(x) dx = \frac{2}{2l + 1})，因此正交归一的基函数为 (u_l = \sqrt{\frac{2l + 1}{2}} P_l(x))。

4.6 一般定理

若实函数 (f(x)) 在区间 ([-1, 1]) 上分段光滑，且 (\int_{-1}^{1} f^2(x) dx < \infty)，则级数 (f(x) = \sum_{l = 0}^{\infty} c_l P_l(x)) 在函数的每个连续点收敛到 (f(x))，其中 (c_l = \frac{2l + 1}{2} \int_{-1}^{1} f(x) P_l(x) dx)。

4.7 示例 7.10

求函数 (f(x) = \begin{cases} x, & -1 \leq x \leq a \ 0, & a < x \leq 1 \end{cases}) 的勒让德多项式展开式。根据上述定理的条件，可计算系数 (c_l = \frac{2l + 1}{2} \int_{-1}^{a} f(x) P_l(x) dx)。由 (P_l(1) = 1) 可得 (c_0 = \frac{1}{2}(1 - a))，(c_l = \frac{1}{2} [P_{l - 1}(a) - P_{l + 1}(a)])。

5. MATLAB 命令回顾

5.1 矩阵转置

单引号（’）用于矩阵转置，对于实分量的向量，它将行向量转换为列向量；若矩阵元素为复数，还会取其复共轭。

5.2 向量范数计算

norm 函数用于计算向量的欧几里得长度。

5.3 向量叉积计算

cross 函数用于计算两个三维向量的叉积。

5.4 行列式计算

det 函数用于计算行列式，这里用于计算三重标量积。

6. 矩阵的设置

6.1 矩阵的定义

矩阵是将数字排列成二维数组结构的集合。矩阵的每个元素 (M_{i,j}) 位于第 (i) 行和第 (j) 列。若矩阵有 (m) 行和 (n) 列，则称其为 ((m \otimes n)) 矩阵。当 (m = n) 时，矩阵为方阵；当 (m = 1) 时，矩阵为行向量；当 (n = 1) 时，矩阵为列向量。

6.2 在 MATLAB 中创建矩阵

6.2.1 输入元素

直接输入矩阵的各个元素，例如：

M = [1 3 5 7 11; 13 17 19 23 29; 31 37 41 47 53];

可以通过以下命令获取矩阵的相关信息：
- size(M) ：获取矩阵的行数和列数。
- M(2,4) ：查看矩阵的第 2 行第 4 列元素。
- M(3,:) ：查看矩阵的第 3 行。
- M(:,4) ：查看矩阵的第 4 列。
- M(2:3,2:4) ：构建原矩阵的子矩阵，包含第 2 行到第 3 行以及第 2 列到第 4 列的元素。

6.2.2 从 MATLAB 库中获取特殊矩阵

• 零矩阵 ： M = zeros(m,n) 可创建一个 (m) 行 (n) 列且所有元素都为 0 的矩阵。
• 全 1 矩阵 ： N = ones(m,n) 可创建一个 (m) 行 (n) 列且所有元素都为 1 的矩阵。
• 单位矩阵 ： P = eye(n,n) 可创建一个 (n) 行 (n) 列且只有对角元素为 1，其余元素为 0 的矩阵。
• 随机矩阵 ： Q = rand(n,n) 可创建一个 (n) 行 (n) 列且元素随机取自区间 ([0, 1]) 的矩阵。
• 三角矩阵 ： upQ = triu(Q) 可提取矩阵 (Q) 的上三角部分，将下三角元素赋值为 0； loQ = tril(Q) 可提取矩阵 (Q) 的下三角部分，将上三角元素赋值为 0。

6.2.3 函数构造矩阵

若存在一个算法可以生成矩阵的每个元素，则可以使用函数构造矩阵。例如，生成希尔伯特矩阵（(n = 4)）的代码如下：

M = zeros(4,4);
for m = 1:4
    for n = 1:4
        M(m,n) = 1/(m + n);
    end
end
M

6.2.4 矩阵拼接

可以通过拼接已知矩阵来创建新矩阵。例如：

A = [1 2 3 4];
B = [5 6 7 8];
C = [A B]; % 水平拼接
D = [A; B]; % 垂直拼接

还可以对更大的矩阵进行拼接操作，例如：

E = ones(2,3);
F = [D E]; % 水平拼接
G = ones(2,4);

通过以上内容，我们详细介绍了椭圆曲率、线积分、无限维向量空间、勒让德多项式以及矩阵的相关知识，同时给出了在 MATLAB 中创建和操作矩阵的方法。这些知识在数学、物理和工程领域都有广泛的应用。

7. 矩阵操作的进一步探讨

7.1 矩阵操作的重要性

矩阵操作在众多领域都有着至关重要的作用，比如在计算机图形学中用于图形的变换，在物理学中用于描述系统的状态等。熟练掌握矩阵的各种操作，能够帮助我们更高效地解决实际问题。

7.2 矩阵操作的总结

操作类型	操作描述	MATLAB 命令示例
转置	将矩阵的行和列互换，若元素为复数还取复共轭	M'
范数计算	计算向量的欧几里得长度	norm(M)
叉积计算	计算两个三维向量的叉积	cross(A, B)
行列式计算	计算矩阵的行列式，用于三重标量积等	det(M)
元素输入	直接输入矩阵的各个元素	M = [1 2; 3 4]
特殊矩阵获取	从 MATLAB 库获取零矩阵、全 1 矩阵等	zeros(m, n) 、 ones(m, n) 等
函数构造	通过算法生成矩阵元素	matlab<br>M = zeros(4,4);<br>for m = 1:4<br> for n = 1:4<br> M(m,n) = 1/(m + n);<br> end<br>end<br>M<br>
矩阵拼接	水平或垂直拼接已知矩阵	C = [A B]; D = [A; B]

7.3 矩阵操作的流程

graph LR
    A[确定操作类型] --> B{是否为特殊矩阵获取}
    B -- 是 --> C[选择相应特殊矩阵命令]
    B -- 否 --> D{是否为元素输入}
    D -- 是 --> E[直接输入元素]
    D -- 否 --> F{是否为函数构造}
    F -- 是 --> G[编写算法生成元素]
    F -- 否 --> H{是否为矩阵拼接}
    H -- 是 --> I[选择水平或垂直拼接方式]
    H -- 否 --> J[根据操作选择对应命令]
    C --> K[完成操作]
    E --> K
    G --> K
    I --> K
    J --> K

8. 综合应用实例

8.1 物理问题中的应用

在 RLC 电路问题中，我们综合运用了傅里叶级数和矩阵的知识。首先，通过傅里叶级数将周期电源电势展开，得到不同频率模式下的相量。然后，利用矩阵的思想来处理电路中的阻抗关系，计算电容两端的电势差。具体步骤如下：
1. 电势展开 ：将周期为 1 的电源电势 (V_s(t)) 展开为傅里叶级数 (V_s(t) = \text{Re} \left{ \sum_{n} \tilde{V} s^n e^{j2\pi nt} \right})。
2. 相量计算 ：根据电路原理，计算电容响应相量 (\tilde{V}_c^n = \frac{Z_c^n}{Z_c^n + Z_R^n + Z_L^n} \tilde{V}_s^n)，这里涉及到矩阵中元素的计算思想，将不同频率下的阻抗和相量看作矩阵的元素。
3. 结果叠加 ：利用线性性质，将各个频率模式下的响应叠加得到 (V_c(t) = \text{Re} \left{ \sum {n} \frac{Z_c^n}{Z_c^n + Z_R^n + Z_L^n} \tilde{V}_s^n e^{j2\pi nt} \right})。

8.2 数学问题中的应用

在求解函数的勒让德多项式展开式时，我们也运用了相关知识。例如对于函数 (f(x) = \begin{cases} x, & -1 \leq x \leq a \ 0, & a < x \leq 1 \end{cases})，我们根据勒让德多项式的性质和定理进行展开。具体步骤如下：
1. 判断条件 ：判断函数 (f(x)) 是否满足在区间 ([-1, 1]) 上分段光滑且 (\int_{-1}^{1} f^2(x) dx < \infty) 的条件。
2. 计算系数 ：根据公式 (c_l = \frac{2l + 1}{2} \int_{-1}^{a} f(x) P_l(x) dx) 计算展开式的系数。
3. 得到展开式 ：将系数代入 (f(x) = \sum_{l = 0}^{\infty} c_l P_l(x)) 得到展开式。

9. 学习建议

9.1 理论学习

• 对于椭圆曲率、线积分、无限维向量空间等理论知识，要深入理解其概念和原理。可以通过阅读相关的教材、论文，观看教学视频等方式进行学习。
• 对于勒让德多项式和傅里叶级数等特殊函数和级数，要掌握其定义、性质和应用场景。

9.2 实践操作

• 在 MATLAB 中进行矩阵操作的实践，通过编写代码来创建矩阵、进行矩阵运算等。可以从简单的示例开始，逐渐增加难度。
• 运用所学知识解决实际问题，如物理中的电路问题、数学中的函数展开问题等，通过实践加深对知识的理解和掌握。

9.3 总结归纳

• 定期对所学知识进行总结归纳，整理出重要的概念、公式和方法。可以制作思维导图或笔记，方便复习和回顾。
• 分析自己在学习和实践过程中遇到的问题和错误，总结经验教训，避免再次犯错。

10. 总结

本文详细介绍了椭圆曲率、线积分、无限维向量空间、勒让德多项式以及矩阵的相关知识，同时给出了在 MATLAB 中创建和操作矩阵的方法。这些知识在数学、物理和工程领域都有广泛的应用。通过理论学习、实践操作和总结归纳，我们可以更好地掌握这些知识，解决实际问题。希望读者能够通过本文的学习，对这些知识有更深入的理解和应用能力。