13、信号处理与向量运算知识详解

信号处理与向量运算知识详解

1. 常系数差分方程的传递函数

1.1 传递函数的推导

常系数差分方程的一般形式为：
[y(k)=\frac{b_0u(k)+b_1u(k - 1)+\cdots + b_mu(k - m)}{1 + a_1y(k - 1)+a_2y(k - 2)+\cdots + a_ny(k - n)}]
假设输入和输出都具有形式 (u(k)=Ue^{j\Omega k}) 和 (y(k)=Ye^{j\Omega k})，将其代入差分方程，可得传递函数 (H(z)) 的表达式为：
[H(z)=\frac{\sum_{l = 0}^{m}b_lz^{-l}}{\sum_{l = 0}^{n}a_lz^{-l}}]
其中 (z = e^{j\Omega})，(\Omega) 是归一化频率。传递函数是两个多项式的比值，分子的零点称为传递函数的零点，分母的零点称为极点。若差分方程的系数为实数，根据代数基本定理，零点和极点要么是实数，要么是共轭复数对。

1.2 传递函数的应用

1.2.1 积分算法精度估计

为了估计三种积分方案的精度，我们将每种算法的传递函数与对函数 (e^{j\omega t}) 进行精确积分得到的精确传递函数进行比较。精确积分 (e^{j\omega t}) 的结果为 (\frac{e^{j\omega t}}{j\omega})，精确传递函数为 (H_{exact}=\frac{1}{j\omega})。
在进行数值积分时，我们按以下步骤操作：
1. 离散化积分时间区间，定义采样时间 (\Delta t)，离散点横坐标为 (k(\Delta