19、时间序列分析中的窗口函数与数据插值方法

时间序列分析中的窗口函数与数据插值方法

在时间序列分析中，计算功率谱密度和填充缺失数据是两个常见且重要的问题。下面将详细介绍窗口函数的选择以及数据插值的相关方法。

1. 傅里叶变换前的加窗处理

在计算连续时间序列的功率谱密度时，我们需要决定使用时间序列的多长片段。通常，较长的片段更好，因为它更能代表整个时间序列的特性，并且能提供更高的分辨率。但实际中数据往往稀缺，因此如何处理短片段数据就成了关键问题。

我们可以通过将无限长的时间序列 $d(t)$ 与窗口函数 $W(t)$ 相乘来创建短片段时间序列，窗口函数在指定片段外的值为零。最简单的窗口函数是矩形窗函数，它在指定区间内值为 1，区间外为 0。

关键问题是加窗对时间序列的傅里叶变换有何影响，即 $W(t)d(t)$ 的傅里叶变换与 $d(t)$ 的傅里叶变换有何不同。这可以通过卷积定理来分析。两个时间序列的卷积的傅里叶变换是它们各自傅里叶变换的乘积，而两个时间序列的乘积的傅里叶变换是它们各自傅里叶变换的卷积。因此，加窗相当于将时间序列的傅里叶变换与窗口函数的傅里叶变换进行卷积。

从这个角度来看，具有尖峰状傅里叶变换的窗口函数是最好的，因为与尖峰卷积不会改变原函数。矩形窗的傅里叶变换是 sinc 函数，它有一个中心尖峰，但也有旁瓣。旁瓣会在加窗时间序列 $W(t)d(t)$ 的频谱中产生原时间序列 $d(t)$ 频谱中不存在的峰值，这些伪像很容易被误认为是数据中的真实周期性。

为了解决这个问题，我们需要更好的窗口函数，即傅里叶变换旁瓣较弱的函数。它在区间外必须为零，但在区间内的形状可以灵活选择。其中，汉明窗口函数（Hamming window function）是一种常用