55、带逆的正则文法逻辑的表演算

带逆的正则文法逻辑的表演算

1. 引言

文法逻辑是一类重要的逻辑系统，在多个领域有着广泛的应用。正则文法逻辑带逆（REGc 逻辑）更是包含了许多常见且实用的模态逻辑。例如：
- 从 K 通过添加公理 D、T、B、4、5 的任意组合得到的 15 种基本单模态逻辑及其多模态版本都是 REGc 逻辑。
- 描述逻辑 SHI 及其扩展，以及正则模态的主体信念逻辑也属于 REGc 逻辑。

在模态逻辑的定理证明中，主要有两种方法：直接方法和基于翻译的方法。直接方法能利用逻辑的特定性质进行优化，而基于翻译的方法则有助于从理论上分析逻辑的复杂度。目前，还没有专门为 REGc 逻辑开发的表演算。虽然有将 REGc 逻辑翻译为 CPDL 并使用其表决策程序的方法，但该程序复杂度非最优，且相关转换描述不够清晰。

2. 预备知识

2.1 正则半 Thue 系统

设 $\Sigma^+$ 是一个有限符号集，对于 $\sigma \in \Sigma^+$，用 $\overline{\sigma}$ 表示其逆符号。定义 $\Sigma^- = { \overline{\sigma} | \sigma \in \Sigma^+ }$，且 $\Sigma^- \cap \Sigma^+ = \varnothing$。字母表 $\Sigma = \Sigma^+ \cup \Sigma^-$ 称为带逆的字母表。

上下文无关半 Thue 系统 $S$ 是由字母表 $\Sigma$ 上的上下文无关产生式规则组成的集合。若对于 $S$ 中的每个规则 $\sigma \to \rho_1 \cdots \rho_k$，规则 $\ove