51、自动推断有限不可满足性：原理与方法

自动推断有限不可满足性：原理与方法

在逻辑推理和理论模型研究中，判断一个一阶理论是否只有无限域的模型是一个重要的问题。下面将介绍几种证明原理，以及如何将这些原理自动化实现以判断理论的有限不可满足性。

证明无限域的原理

• 单射但非满射的函数
  • 示例理论T1 ：考虑以下理论T1：
    • (suc(X) \neq 0)
    • (suc(X) = suc(Y) \Rightarrow X = Y)
  • 引理1 ：给定集合(D)，若存在函数(f: D \to D)是单射但非满射，则(D)必定是无限的。因为(f)非满射，存在(a \in D)，使得对任意(x \in D)，(f(x) \neq a)。构造无限序列(a, f(a), f(f(a)), \cdots, f^i(a), \cdots)，由于(f)是单射，序列中任意两个元素都不相等。对于理论T1，假设存在模型(\langle D, I\rangle)，(I(suc))满足T1的公理，根据公理可知(I(suc))是单射且非满射，所以(D)是无限的。
• 将相等关系推广到自反关系
  • 示例理论T2 ：考虑理论T2：
    • (lte(X, X))
    • (\neg lte(suc(X