29、单项式和子句谓词抽象的复杂性与算法

单项式和子句谓词抽象的复杂性与算法

1. 引言

在程序验证领域，推断循环不变式是一个关键问题。为了降低推断的复杂度，人们提出了多种抽象技术，如谓词抽象和模板抽象。本文将聚焦于两种受限的抽象问题：单项式抽象和子句抽象，并探讨它们的复杂性和相关算法。

2. 背景知识

2.1 无循环程序的简单编程语言

我们使用一种简单的无循环编程语言SimpPL，它支持标量变量（Scalars）和可变映射或数组（Maps）。该语言支持对标量表达式（Expr）进行算术运算，对数组表达式（MapExpr）进行选择 - 更新推理。以下是该语言的语法定义：

x, y ∈ Scalars
X, Y ∈ Maps
e ∈ Expr ::= x | c | e ± e | sel(E, e)
E ∈ MapExpr ::= X | upd(E, e, e)
s, t ∈ Stmt ::= skip | assert φ | assume φ | x := e | X := E | havoc x | havoc X | s; s | s ⋄ s
φ, ψ ∈ Formula ::= e ≤ e | φ ∧ φ | ¬φ | ...

其中， sel 和 upd 是用于选择或更新数组的解释符号。 havoc 操作会为其参数分配一个类型一致（标量或映射）的任意值。 s; t 表示两个语句的顺序组合， s ⋄ t 表示非确定