30、单项式和子句谓词抽象的复杂度与算法及高效直觉定理证明

单项式和子句谓词抽象的复杂度与算法及高效直觉定理证明

单项式抽象相关定理

在程序分析中，有关于单项式抽象的几个重要定理。

定理 3 表明，公式 SymbInferMonome(Prog, P) 可满足当且仅当 InferMonome(Prog, P) 为假。其证明过程如下：
- “ =⇒”：假设 SymbInferMonome(Prog, P) 可满足，对于满足该公式的模型 M，可将其拆分为一组模型 {Mi}i，其中 Mi 为 φi 中变量的第 i 个副本赋值，仅在 bi p 和 guess 的值上达成一致。并且，bi p 的赋值可用于构建集合 Qi；当 bi p 在 M 中为真时，Qi+1 ←Qi ∪{p}。
- “⇐=”：假设 InferMonome(Prog, P) 返回假。根据引理 2，可通过模型 {Mi}i 的并集构建模型 M，并为 bi p 进行如下赋值：若 Qi+1 \ Qi = {p}，则将 bi p 赋值为真；在其他情况下，将 bi p 赋值为假。该模型 M 满足 SymbInferMonome(Prog, P)。

定理 4 指出，对于在 wp 和布尔连接词下封闭的断言逻辑，InferMonome(Prog, P) 的复杂度与 Check(Prog, I) 的复杂度相匹配。因为 SymbInferMonome(Prog, P) 得到的公式在 P 和任何谓词 p ∈P 的 wp(body, p) 的大小上是多项式的，所以检查 SymbInferMonome(Prog, P) 可满足性的复杂度就是 Check(Prog, I) 所表达的断言逻辑中检查断言的复杂度。

推论 1 说明，如果 Check(Prog, I) 的决策问题