12、理论扩展中的局部性结果及轻量级描述逻辑中的公理定位

理论扩展中的局部性结果及轻量级描述逻辑中的公理定位

理论扩展的局部性结果

在某些理论扩展的研究中，有一系列重要的结论。对于由基单位子句集 $G$ 构成的集合，其中所有负（单位）子句由类型为 $s$ 的文字组成，判断是否存在 $AbsFreeΣ_0 ∪ T_s ∪ Rec[g] {Σ_2}$ 和 $G$ 的项生成模型，可以通过计算 $Rec[g] {Σ_2}[Ψ(G)]$，然后将问题分层归约为相对于 $AbsFreeΣ_0 ∪ T_s$ 的可满足性测试。

例如，在示例中，存在一个基子句 $G$，使得 $AbsFreeΣ_0 ∪ Z ∪ Rec_{depth} \not\models G$，而 $AbsFreeΣ_0 ∪ Z ∪ Rec_{depth} ∧ Bounded(depth) \models G$。并且，$AbsFreeΣ_0 ∪ Z ∪ Rec_{depth} ∪ \bigwedge_{a \in Const(G)} C(a) \models G$，这意味着 $G$ 在 $AbsFreeΣ_0 ∪ Z ∪ Rec_{depth}$ 的每个项生成模型中都为真。

当放宽对 $G$ 中负子句出现的限制时，如果 $Σ_0$ 中的零元构造函数集是无限的，扩展相对容易；否则，需要使用等式完备化并添加计数约束。

接下来考虑更一般的数据结构。设签名由构造函数集 $Σ_0$（包括常量集 $C$）组成，$E$ 是 $Σ_0$ - 项之间的一组额外恒等式。例如，当 $Σ_0 = {c, c_0}$ 时，$E$ 可以包含以下等式：
| 等式 | 性质 |
| — | — |
| $c(c(x, y), z) = c(x, c