7、排列空间的理论与实验观察及基于随机平分线和二进制指纹的度量空间搜索

排列空间的理论与实验观察及基于随机平分线和二进制指纹的度量空间搜索

排列空间的理论基础

在排列多面体的任意顶点观察周围相邻顶点时，会发现周围空间的视图是相同的。每个观察顶点周围均匀分布着 (n - 1) 个相邻顶点，它们与观察顶点的欧几里得距离为 (\sqrt{2})，并且在一个通用的 (\epsilon) - 球邻域内，顶点的数量和它们的相对位置与观察顶点无关。

排列多面体精确地展示了基于排列的表示在空间中的位置，其中欧几里得距离等同于斯皮尔曼等级相关系数（Spearman rho）。不过，有时在基于排列的索引中使用的斯皮尔曼脚规则（Spearman Footrule），在同一空间中会产生 (L_1)（曼哈顿）距离，但这对理解距离分布帮助不大。

为了理解斯皮尔曼等级相关系数的距离分布，使用其非平方根变体 (S^2_{\rho}) 很有用，因为它具有有趣的分布特性：
- 均值：(\frac{1}{6}(n^3 - n))
- 方差：(\frac{1}{36}n^2(n - 1)(n + 1)^2)
- 最大值：(\frac{1}{3}(n^3 - n))

虽然 (S^2_{\rho}) 不是一个度量，但由于平方根函数的单调性，在进行 (k) - 近邻（k - NN）搜索时，其结果的顺序与使用 (S_{\rho}) 得到的结果顺序相同。此外，经过均值和方差归一化后，(S^2_{\rho}) 具有极限正态分布，排列空间在平方斯皮尔曼等级相关系数距离下的查韦斯内在维数为 (\frac{1}{2}(n - 1))。

排列空间的性能评估

1. 数据集和真实值