49、微分几何在环和莫比乌斯纳米结构中的应用

微分几何在环和莫比乌斯纳米结构中的应用

1. 纳米线轴的一般参数化

对于大多数曲线而言，找到显式的弧长参数化 (r(s)) 颇具难度。因此，我们需要寻找一个一般的参数化 (r(t))，其中 (t = t(s)) 且 (\left\lVert r’(t)\right\rVert \neq 1)，具体如下：
- (\frac{d}{ds}=\frac{dt}{ds}\frac{d}{dt}=\left(\frac{ds}{dt}\right)^{-1}\frac{d}{dt})
- (\frac{d\chi_1}{ds}=\left(\frac{ds}{dt}\right)^{-1}\frac{d\chi_1}{dt})
- (\frac{d^{2}\chi_1}{ds^{2}}=\left(\frac{ds}{dt}\right)^{-1}\frac{d}{dt}\left[\left(\frac{ds}{dt}\right)^{-1}\frac{d\chi_1}{dt}\right]=\left(\frac{ds}{dt}\right)^{-2}\frac{d^{2}\chi_1}{dt^{2}}-\left(\frac{ds}{dt}\right)^{-3}\frac{d^{2}s}{dt^{2}}\frac{d\chi_1}{dt})

同时，有以下关系：
- (\frac{ds}{dt}=\vert r’(t)\vert=\sqrt{r’\cdot r’})
- (\frac{d^{2}s}{dt^{2}}=\frac{r’\cdot r’‘}{\sqrt{r’\cdot r’}})
- (\kappa^{2}=\frac{\vert