完全二叉搜索树

完全二叉搜索树是两个概念的包含，即完全二叉树+二叉搜索树。二叉搜索树是一棵二叉树，以根结点为中心，根结点左子树的所有结点权值均小于根结点的权值，根结点右子树的所有结点权值均大于根结点的权值。

而完全二叉树指从根结点到倒数第二层满足完美二叉树，最后一层可以不完全填充，其叶子结点都靠左对齐。

（完美二叉树：又叫满二叉树，指一个深度为k(>=-1)且有2^(k+1) - 1个结点的二叉树称为完美二叉树。）

完全二叉树：

 

完全二叉搜索树的要求是按照给定序列建出一棵完全二叉树，同时这棵完全二叉树满足二叉搜索树的性质。举个例子：把0123456789这个序列建一棵完全二叉搜索树，得到的树应该是这个样子的：

 

接下来是核心算法的思路：首先我们可以把给定的序列从小到大排序，例如0123456789。然后我们想，我们最后建成的树是满足二叉搜索树的性质，即根结点左子树的所有结点的权值均小于根结点的权值，根结点右子树的所有结点的权值均大于根结点的权值，所以，如果我们知道这棵树根结点的左子树一共有n个结点，那么就可以知道根结点的权值是从小到大排列完后序列中的第n+1位的数字。为什么可以这样做？因为这利用到了完全二叉树的性质，当给定一个确定的k（k是结点数），那么这个完全二叉树就是固定不变的了。比如棵树：

0-9有是个数，也就是k=10；所以以此序列构建出的完全二叉搜索树根结点的左子树一定含有6个结点。所以根结点的值就是序列中的第7位的数字（也就是“6”）。同时我们也就可以知道“6”之后的数7、8、9是右子树的结点的值。

当我们填了第一个数根结点的值6之后，就可以递归的处理左右子树。因为如果一棵二叉树是完全二叉树的话，那么它的左子树和右子树也一定是完全二叉树。所以可以用递归处理。

例如填完根结点后，继续看左子树，根结点的左子树一共有6个结点，一棵k=6的完全二叉树的左子树一定包含三个结点，所以左子树的根节点的值填入“3”，同时知道该左子树的右结点一定包含4和5这两个结点。

核心算法代码在个人代码云：https://gitee.com/justinzeng/codes/9uhkejlxowdgy04zm26b399