25、数值方法：多项式插值、最小二乘法估计与方程求解

数值方法：多项式插值、最小二乘法估计与方程求解

1. 多项式插值

在许多问题中，我们需要通过函数来描述现象，但往往函数本身是未知的，只能从少量已知点推断函数信息，这时就需要进行插值。

1.1 多项式插值概述

多项式插值的核心是构建一个特殊的多项式——插值多项式。常见的多项式形式有幂形式和牛顿形式。
- 幂形式：$p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_nx^n$，其中$a_0, …, a_n$为系数，若$a_n$不为零，则该多项式的次数为$n$。
- 牛顿形式：$p(x) = a_0 + a_1(x - c_1) + a_2(x - c_1)(x - c_2) + … + a_n(x - c_1)(x - c_2)…(x - c_n)$，其中$a_0, …, a_n$为系数，$c_1, …, c_n$为中心。当$c_1, …, c_n$都为$0$时，牛顿形式就简化为幂形式。

1.2 构建插值多项式

为了对函数$f(x)$进行插值，我们使用$n + 1$个已知点$x_0, …, x_n$构建一个$n$次多项式$p_n(z)$，这些点被称为插值点。$p_n(z)$的构建使用牛顿公式：
[p_n(z) = f[x_0] + f x_0, x_1 + f x_0, x_1, x_2 (z - x_1) + … + f x_0, …, x_