斐波那契系列问题的递归和动态规划

【题目】

给定整数N，返回斐波那契数列的第N项

【补充1】

给定整数N，代表台阶数，一次可以跨2个或者1个台阶，返回有多少种走法。

【举例】

N=3，可以三次都跨1个台阶；也可以先跨2个台阶，再跨1个；或者先跨1个，再跨2个。所以有三种走法，返回3.

【补充2】

假设农场中成熟的母牛每年只会生1头小母牛，并且永远不会死。第一年农场有1只成熟的母牛，从第二年开始，母牛开始生小母牛。每只小母牛3年之后成熟又可以生小母牛。给定整数N，求出N年后牛的数量。

【举例】

N=6，第1年1头成熟母牛记为a；
第2年a生了新的小母牛，记为b，总牛数为2；
第3年a生了新的小母牛，记为c，总数为3；
第4年a生了新牛d，总数4；
第5年b成熟了，ab分别生了一只，总数为6；
第6年c也成熟了，abc分别生了一只，总数为9，故返回9.

【要求】

对以上所有问题，时间复杂度为O(logN)

【代码】

public static void main(String[] args) {
        //原题目
        System.out.println(Fibonacci(5));//5
        System.out.println(Fibonacci2(5));//5
        System.out.println(Fibonacci3(5));//5
    } 

    //返回斐波那契数列的第N项
    //方法1：暴力递归，O(2^N)
    public static int Fibonacci(int n){
        if(n<1){
            return -1;
        }else if(n==2||n==1){
            return 1;
        }else{
            return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
        }
    }

    //方法2：依次从左到右求出每一项的值，O(N)
    public static int Fibonacci2(int n){
        if(n<1){
            return -1;
        }
        if(n==2||n==1){
            return 1;
        }
        int res=1;
        int pre=1;
        int temp=0;
        for(int i=3;i<=n;i++){
            temp=res;
            res+=pre;
            pre=temp;
        }
        return res;
    }

    //方法3：矩阵乘法思想，O(logN)
    //(F(n),F(n-1))=(1,1)×{{1,1},{1,0}}^(n-2)
    public static int Fibonacci3(int n){
        if(n<1){
            return -1;
        }
        if(n==2||n==1){
            return 1;
        }
        int[][] base={{1,1},{1,0}};
        int[][] res=matrixPower(base,n-2);//状态矩阵的n-2次方      
        return res[0][0]+res[1][0]; 
    }

    //矩阵m的p次方
    private static int[][] matrixPower(int[][] m, int p) {
        int[][] res=new int[m.length][m[0].length];
        //把res设为单位矩阵，相当于整数中的1
        for(int i=0;i<res.length;i++){
            res[i][i]=1;
        }
        int[][] tmp=m;
        for(;p!=0;p>>=1){
            if((p&1)!=0){
                res=muliMatrix(res,tmp);
            }
            tmp=muliMatrix(tmp,tmp);
        }
        return res;
    }

    //具体实现两个矩阵相乘
    private static int[][] muliMatrix(int[][] m1, int[][] m2) {
        int[][] res=new int[m1.length][m2[0].length];
        for(int i=0;i<m1.length;i++){
            for(int j=0;j<m2[0].length;j++){
                for(int k=0;k<m2.length;k++){
                    res[i][j]+=m1[i][k]*m2[k][j];
                }
            }
        }
        return res;
    }