经典算法题总结：Fibonacci数列，从递归，动态规划，滚动数组，矩阵快速幂到通项公式

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题目链接：剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列 - 力扣（LeetCode）

Fibonacci数列定义：

递归

核心是一个递归边界和递归体，复杂度分析可画递归树可得，时间复杂度是O(2^N)，这是一个估算的上界，递归树最坏情况并不是满二叉树，数学上已经有证明出有通项公式可以表示：

而

空间复杂度和递归调用时的栈深有关是O(N)，显然有很多次的重复调用：

class Solution {

    public int fib(int n) {
        if(n == 0 || n == 1) {
            return n;
        }
        return fib(n - 1) + fib(n - 2);
    }

}

动态规划

class Solution {

    public int fib(int n) {
        if(n == 0) {
            return 0;
        }
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
            dp[i] %= 1000000007;
        }
        return dp[n];
    }

}

这里为啥要对1000000007（1e9+7）取模呢，因为为了防止出现溢出的问题，当然你也可以抛出一个异常，1000000007是一个足够大的质数，这意味着没有公约数。

// 使用滚动数组进行优化空间复杂度
class Solution {

    public int fib(int n) {
        if(n <= 1) {
            return n;
        }
        int a = 0, b = 1, sum = 1;
        for(int i = 2; i < n; i++) {
            a = b;
            b = sum;
            sum = (a + b) % 1000000007;
        }
        return sum;
    }

}