13、LR-Visibility与最短路径树计算

LR-Visibility与最短路径树计算

1. 2 - 可通行性判定

对于一个具有 (n) 个顶点的简单多边形 (P)，可以在 (O(n)) 时间内确定 (P) 在两个边界点 (s) 和 (t) 之间是否为 2 - 可通行的。这一结论基于对 (P) 是否存在 (s) - 死锁的判定，若存在 (s) - 死锁，则可依据相关引理在 (O(n)) 时间内得出结果。

2. 基于LR - 可见性计算最短路径树

2.1 算法概述

当多边形 (P) 满足 LR - 可见性多边形的特征时，可使用 Bhattacharya 和 Ghosh 提出的 (O(n)) 时间算法来计算从顶点（如 (v_1)）出发的最短路径树 (SPT(v_1))。
算法步骤如下：
1. 计算从 (v_1) 出发的多边形 (P) 的可见性多边形 (V(v_1))。
2. 用 (V(v_1)) 的构造边将 (P) 划分为不相交的区域，除 (V(v_1)) 外的区域称为 (V(v_1)) 的口袋。
3. 由于 (V(v_1)) 的顶点从 (v_1) 可见，它们是 (SPT(v_1)) 中 (v_1) 的子节点。因此，计算 (SPT(v_1)) 的剩余任务是计算从 (v_1) 到每个口袋中每个顶点的最短路径。

2.2 口袋相关引理

• 引理 4.6.1 ：若 (P) 相对于某对边界点 (s) 和 (t) 是 LR - 可见性多边形，则 (s) 和 (t) 中至多有一个位于 (V(v_1)) 的一个口袋中。
  • 证明