5、多边形中可见性计算与简单多边形识别算法解析

多边形中可见性计算与简单多边形识别算法解析

1. 带孔多边形中一点可见性的计算

在处理带孔多边形中一点 $q$ 的可见性问题时，我们可以采用两种不同时间复杂度的算法，下面将详细介绍。

1.1 O(n log n) 时间复杂度算法

该算法基于角平面扫描的思想，具体步骤如下：
1. 绘制水平线并计算交点 ：从点 $q$ 向右绘制水平线 $L$，计算 $L$ 与多边形 $P$ 各边的交点。
2. 对交点进行排序 ：将交点按照从左到右的顺序进行排序，设排序后的交点为 $(u_1, u_2, \ldots, u_k)$。
3. 构建平衡二叉树 ：将包含交点 $u_i$ 的多边形边 $e(u_i)$ 作为节点，按照排序顺序连接这些节点，构建平衡二叉树 $T$。
4. 对顶点进行排序 ：根据顶点相对于点 $q$ 的极角对多边形 $P$ 的顶点进行排序，并标记为 $v_1, v_2, \ldots, v_n$，同时初始化索引 $i$ 为 1。
5. 处理顶点 ：
- 如果顶点 $v_i$ 的两条边都是活动边，则执行删除操作 $Delete(T, i)$，若左最叶子节点发生变化，计算 $\overrightarrow{q v_i}$ 与当前左最叶子节点所在边的交点 $z$，并将 $v_i z$ 添加到构造边列表中，然后跳转到步骤 8。
- 如果顶点 $v_i$ 只有一条边是活动边，则执行更新操作 $Update(T, i)$，然后跳转到步