7、简单多边形弱可见性与最短路径算法解析

简单多边形弱可见性与最短路径算法解析

1. 弱可见性多边形相关概念与推论

弱可见性和最短路径在多边形分析中有着重要的应用。首先，我们有关于弱可见性多边形的一些关键推论。
- 每个弱可见性多边形 $P$ 最多有两个不相交的 $C$ - 多边形。
- 如果多边形 $P$ 有三个或更多相互不相交的 $C$ - 多边形，那么 $P$ 不是弱可见性多边形。

这些推论为后续计算弱可见性多边形提供了重要的理论基础。

2. 扫描边界的 $O(n \log n)$ 算法

此算法用于计算简单多边形 $P$ 从内部线段 $pq$ 的弱可见性多边形 $V(pq)$。

2.1 预处理步骤

• 找到 $\overrightarrow{qp}$ 与 $bd(P)$ 交点中离 $p$ 最近的点 $u$，$u$ 位于边 $v_iv_{i + 1}$ 上；同理，找到 $\overrightarrow{pq}$ 与 $bd(P)$ 交点中离 $q$ 最近的点 $w$，$w$ 位于边 $v_kv_{k + 1}$ 上。
• 沿 $uw$ 将 $P$ 切割成两个多边形 $P_1=(v_i, u, p, q, w, v_{k + 1}, \cdots, v_{i - 1}, v_i)$ 和 $P_2=(v_{i + 1}, \cdots, v_k, w, q, p, u, v_{i + 1})$。此时，$V(pq)$ 是 $P_1$ 和 $P_2$ 从 $pq$ 的弱可见性多边形的并集。
• 为简化问题，假设 $pq$ 是给定多边形 $P$ 的凸边，顶点按逆时针顺序标记为 $v_1, v