20、低秩离群点检测方法：原理、优化与实验

低秩离群点检测方法：原理、优化与实验

1. 引言

在离群点检测领域，我们提出了一种低秩学习模型，这是首个旨在解决离群点检测问题的低秩模型。低秩约束能够以动态方式对多个超球体进行建模，极大地有利于离群点检测任务。

2. 方法概述

我们提出了基于低秩约束的离群点检测方法，该方法能自动学习超球体的中心和相应半径。下面将详细介绍问题的表述以及优化算法，包括原始解和对偶解。

3. 问题表述

设 (X) 表示 (D) 维样本空间中的一组观测值，即 (X = [x_1, x_2, \ldots, x_N] \in R^{D×N})，其中 (N) 为观测值的数量。(C = [c_1, c_2, \ldots, c_M] \in R^{D×M}) 是聚类的中心矩阵，(M) 为聚类的数量。(R = [r_1, r_2, \ldots, r_M] \in R^M) 表示相应聚类的超球体半径，即 (r_i) 表示 (c_i) 的半径。为了将每个观测值与其中心和中心的半径关联起来，我们使用指示矩阵 (U = [u_1, u_2, \ldots, u_N] \in R^{M×N}) 来确定每个样本 (x_i) 所属的聚类。

与支持向量数据描述（SVDD）方法相比，SVDD 总是试图为所有训练数据找到全局解，最终的解需要覆盖大多数正数据，这会增大超球体的半径，从而错误地将许多离群点包含在超球体内。而我们的方法可以将问题拆分为两个独立的问题，并逐步找到最优的超球体。

我们的策略是使用更少且半径最小的超球将大部分数据包含在内。这些超球体应一次性包含大部分训练数据。然而，过大的半径会在测试阶段包含不期望的误报样本（离群点），因此