23、梯度下降方案的收敛性证明及Lipschitz常数计算

梯度下降方案的收敛性证明及Lipschitz常数计算

1. 引言

在优化问题中，梯度下降是一种常用的迭代算法，用于寻找函数的最小值。为了确保梯度下降算法能够收敛到函数的最优解，需要对其收敛性进行证明。同时，计算可计算的Lipschitz常数对于确定梯度下降的步长至关重要。

2. 成本函数的基本条件

在进行梯度下降收敛性证明之前，需要满足以下三个基本条件：
1. 具有分段可微的一阶导数。
2. 有下界，即函数值不会取到负无穷。
3. 具有有界的曲率。

3. 不同梯度下降方法的收敛性证明

3.1 具有Lipschitz常数固定步长的梯度下降收敛性

当函数 $g$ 的梯度具有Lipschitz连续性，常数为 $L$ 时，在梯度下降的第 $k$ 次迭代中，$g$ 有一个二次上界：
[g (w) \leq g(w_{k - 1}) + \nabla g(w_{k - 1})^T (w - w_{k - 1}) + \frac{L}{2}|w - w_{k - 1}| 2^2]
将梯度步长 $w_k = w {k - 1} - \frac{1}{L}\nabla g(w_{k - 1})$ 代入上式并化简，可得：
[g(w_k) \leq g(w_{k - 1}) - \frac{1}{2L}|\nabla g(w_{k - 1})|_2^2]
这表明具有保守固定步长的梯度步长序列是递减的。通过进一步推导，可以证明该序列收敛到梯度为零的驻点。

3.2 具有回溯线搜索的梯度下降收敛性

假设