梯度下降收敛性分析与证明

一：Lipschitz连续

定义：对于在实数集的子集的函数，若存在常数，使得，则称函数符合利普希茨条件。

性质1：若函数在定义域内满足Lipschitz连续，则有

                                                                                                                             (1-1)                  

二：梯度下降算法收敛性分析

在求解优化问题时，我们常用梯度下降算法对目标函数进行寻优，求得优化问题的最优解或近似最优解。而在面对不同性质的目标函数时，如凸函数、强凸函数和非凸函数，梯度下降算法的收敛性会发生何种变化，都是值得去思考的一个问题。

在此，我们首先讨论第一种情况，在优化问题的目标函数为强凸函数，且满足Lipschitz连续，采用梯度下降算法进行求解的算法收敛性分析如下：

若目标函数为强凸函数，且在定义域内Lipschitz连续。则有：

  Lipschitz连续性质:                                                                                             (2-1)

强凸函数性质