剑指offer-剪绳子(Java版)

描述

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长的 m 段（ m 、 n 都是整数， n > 1 并且 m > 1 ， m <= n ），每段绳子的长度记为 k[1],...,k[m] 。请问 k[1]*k[2]*...*k[m] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是 8 时，我们把它剪成长度分别为 2、3、3 的三段，此时得到的最大乘积是 18 。

数据范围： 2 \le n \le 602≤n≤60

进阶：空间复杂度 O(1)O(1) ，时间复杂度 O(n)O(n)

输入描述：

输入一个数n，意义见题面。

返回值描述：

输出答案。

示例1

输入：8

返回值：18

说明：8 = 2 +3 +3 , 2*3*3=18

示例2

输入：2

返回值：1

说明：m>1，所以切成两段长度是1的绳子

第一种解法

利用数学推导定论来解决，我在牛客网此题的评论，发现一个同学，利用数学推导公式推导出来，发现每次长度取3的时候，乘积将会是最大的，所以代码如下

public int firstCutRope(int target) {
    if (target == 2) {
        return 1;
    }
    if (target == 3) {
        return 2;
    }
    int result = 1;
    while (target > 4){
        result*=3;
        target = target -3;
    }
    return target * result;
}

第二种解法

此题想考验同学们的点是动态规划，所以我们来采用动态规划解决此题，必然存在一个点，把target分为两段，定义一个数组dp，其中dp[i]表示的是长度为i的绳子能得到的最大乘积。我们先把长度为i的绳子拆成两部分，一部分是j，另一部分是i-j，那么会有下面4种情况 1，j和i-j都不能再拆了 dp[i]=j*(i-j); 2，j能拆，i-j不能拆 dp[i]=dp[j]*(i-j); 3，j不能拆，i-j能拆 dp[i]=j*dp[i-j]; 4，j和i-j都能拆 dp[i]=dp[j]*dp[i-j]; 我们取上面4种情况的最大值即可。我们把它整理一下，得到递推公式如下dp[i] = max(dp[i], (max(j, dp[j])) * (max(i - j, dp[i - j])));最终代码如下

public int secondCutRope(int target) {
    if (target == 2) {
        return 1;
    }
    if (target == 3) {
        return 2;
    }
    int[] f = new int[target+1];
    f[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= target; i++) {
        for (int j = 1; j < i ; j++) {
            f[i] = Math.max(f[i],Math.max(j,f[j]) * Math.max(i-j,f[i-j]));
        }
    }
    return f[target];
}