统计-大数定律及中心极限定理

第五章 大数定律及中心极限定理

切比雪夫不等式

定理

设随机变量X的数学期望E(X)和方差D(X)都存在，则对任意$\varepsilon$>0,都有

P{|X-E(X)|≥$\varepsilon$}≤${{D(X)\over \varepsilon^2}}$ ($\forall\varepsilon$>0)

P{|X-$\mu$|≥$\varepsilon$}≤${{\sigma^2}\over {\varepsilon^2}}$

{|X-$\mu$|≥$\varepsilon$}的对立事件是{|X-$\mu$|<$\varepsilon$}

另一个形式

P{|X-$\mu$|<$\varepsilon$}≥$1-{{\sigma^2}\over {\varepsilon^2}}$

意义

在随机变量X的分布位置，而只知道X的均值和方差（或已知分布但很复杂）的情况下，切比雪夫不等式给出了概率P{|X-E(X)|≥$\varepsilon$}的一个估计范围

1.对给定的$\varepsilon$>0，估计|X-E(X)|≥$\varepsilon$的概率

2.对给定的概率p，确定所需的区间长度，即确定满足不等式

P{|X-E(X)|≥$\varepsilon$}≥p的$\varepsilon$

例子

设某电网有1000盏灯，夜里每盏灯开灯的概率都是0.7.假设电灯开关时间彼此独立，试估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率

X表示在夜晚开着电灯的数

X服从参数n=10000，p=0.7的二项分布

p{6800

大数定律

依概率收敛

设X1,X2,…,Xn,…是一个随机变量的序列，a是一个常数。

若对应任意实数$\varepsilon$>0都有

$\lim_{n \to \infty}P{|X_n-a|<\varepsilon}=1$

则称序列X1,X2,…,Xn,…依概率收敛与a，记为

$X_n \xrightarrow{P}a$

以上极限等价于$\lim_{n \to \infty}P{|X_n-a|≥\varepsilon}=0$

{Xn}依概率收敛与a是指：当n充分大后，随机变量Xn几乎总是取值a，或者取值与a非常接近。

大数定律是有关随机变量序列的前n项的算术平均值在一定条件下收敛到这n项的数学期望的算术均值的定理

大数定律定理

设{ $X_k$}为随机变量序列，它们数学期望都存在。若对于任意$\varepsilon$>0都有

$\lim_{n \to \infty}P\{|{1 \over n}\sum_{k=1}^nX_k-{1\over n}\sum_{k=1}^nE(X_k)|<\varepsilon\}=1$

则称随机变量序列{ $X_k$}服从大数定律。

以上极限表明：${1 \over n}\sum_{k=1}^nX_k \xrightarrow{P} {1\over n}\sum_{k=1}^nE(X_k)$

#### 切比雪夫大数定理

设X1,X2,…,Xn,…是相互独立的随机变量的序列，它们的数学期望和方差都存在，且存在常数C，使得D(Xk)≤C(k=1,2,..)则对于任意ε