多元函数的极值

多元函数的极值

定义

z=f(x,y) (x,y)$\in$D,$M_0(x_0,y_0)\in D(M_0是D的内点) ,U(M_0,\delta(域))\subset D$

若f($x_0,y_0$)是函数z=f(x,y)在$U(M_0,\delta)$中的最大值，则称f($x_0,y_0$)为极大值

若f($x_0,y_0$)是函数z=f(x,y)在$U(M_0,\delta)$中的最小值，则称f($x_0,y_0$)为极小值

也就是区间的最大值和最小值

极值是局部概念，极值必须在定义域的内部取得，极值点必须是定义域的内点，定义域的便接到不可能是极值点。

极值的必要条件

一元极值必要条件

y=f(x),f($x_0$)是极值，且f’($x_0$)存在，则f’($x_0$)=0

导数为0是函数取得极值的必要条件

驻点$x_0$

可导的极值点必为驻点，极值点不一定为驻点，驻点也不一定为极值点。

定理一（极值的必要条件）

设z=f(x,y)在点($x_0,y_0$)处取得极值，且偏导数$f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0)存在，

则$f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0$

证明

设z=f(x,y)在点($x_0,y_0$)处取得极大值

则一元函数z=f(x,$y_0$)=g(x),在点x=$x_0$处取得极大值

由于一元函数极值必要条件$f_x(x_0,y_0)=g(x_0)=0$

同理可得$f_y(x_0,y_0)=0$

多元函数取得极值的必要条件是梯度为零向量

驻点

驻点就是梯度为零向量的点

非极值点的驻点称为鞍点

推论

有偏导数的极值点必为驻点

极值的充分条件

一元函数的充分条件

f’($x_0$)=0

f”($x_0$)>0 =>f($x_0$)是极小值

f”($x_0$)<0 =>f($x_0$)是极大值

#### 定理二（二元函数极值的充分条件）

设函数z=f(x,y)在点($x_0,y_0$)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又$f_x$($x_0,y_0$)=0,$f_y$($x_0,y_0$)=0,令

$f_{xx}$($x_0,y_0$)=A,$f_{xy}$($x_0,y_0$)=B,$f_{yy}$($x_0,y_0$)=C,

则f(x,y)在($x_0,y_0$)处是否取得极值的条件如下

1.AC-$B^2$>0是具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值

2.AC-$B^2$<0时没有极值

3.AC-$B^2$=0时可能有，可能没有

例子

f(x,y)=$x^4+y^4-4xy$求极值

先求驻点

$f_x(x,y)=4x^3-4y=0$

$f_y(x,y)=4y^3-4x=0$

得驻点(0,0),(1,1),(-1,-1)

求二阶

A=$f_{xx}=12X^2$

B=$f_{xy}=-4$

C=$f_{yy}=12y^2$

AC-$B^2=144x^2y^2-16$

(0,0):16<0无极值

(1,1):144-16>0,A=12>0 极小值

同理(-1,-1)极小值点

hesse矩阵

若H($x_0,y_0$)是正定矩阵

$f_{xx}$($x_0,y_0$)>0 （A>0）

$$\left[ \begin{matrix} f_{xx}(x_0,y_0)& f_{xy}(x_0,y_0)\\ f_{yx}(x_0,y_0)& f_{yy}(x_0,y_0)\\ \end{matrix} \right]>0$$
AC-$B^2$>0

则f($x_0,y_0$)是极小值

若H($x_0,y_0$)是负定矩阵

$f_{xx}$($x_0,y_0$)<0 （A<0）

$$\left[ \begin{matrix} f_{xy}(x_0,y_0)& f_{xy}(x_0,y_0)\\ f_{yx}(x_0,y_0)& f_{yy}(x_0,y_0)\\ \end{matrix} \right]>0$$
AC-$B^2$>0

则f($x_0,y_0$)是极大值

推广到n元

z=$f(x_1,x_2,...,x_n)$

设$M_0(x_1^0,x_2^0,...,x_n^0)$

$\nabla f(M_0)=0$

$$\left[ \begin{matrix} f_{x_1x_1}&f_{x_1y_2}&...&f_{x_1x_n}\\ f_{x_2x_1}&f_{x_2x_2}&...&f_{x_2x_n}\\ ...&...&...&...\\ f_{x_nx_1}&f_{x_nx_2}&...&f_{x_nx_n}\\ \end{matrix} \right]>0$$
若H($M_0$)是正定矩阵，则f($M_0$)是极小值

若H($M_0$)是负定矩阵，则f($M_0$)是极大值。

多元函数最值

定义

函数f(x,y)在以区域D上的最大（最小）的函数值称为函数在该区域上的最大（最小）值，简称最值。

最值是个整体概念

极值是个局部概念。

函数f(x,y)在一区域D上的最值可以在区域内部渠道(也是极值)。也可以在区别边界取到。

求法

1.求出定义域内部可能的极值点

2.求出定义域的边界上可能的最值点

3.比较上述各点处函数值的大小，得到最大最小值。

由于多元函数的定义域边界有无穷多个点，由此，求多元函数的最值比较复杂。如果根据问题知道，最值出现在定义域内部，则可避免边界点的讨论。

例子

要做一个容积为V的无盖长方形水箱。问水箱的长宽高各取多大，才能使用料最省？

面积公式：S=xy+2(xz+yz)

由xyz=V得z=${V}\over{xy}$

带入面积公式

S=$xy+2({V\over y}+{V\over x}) (x<x,y,+\infty)$

定义域是开区域，最值在区域内取到

11.求驻点

${{\partial S}\over{\partial x}}=y-{{2V}\over {x^2}}=0$

${{\partial S}\over{\partial y}}=-{{2V}\over {y^2}}=0$

驻点($\sqrt[3]{2V},\sqrt[3]{2V}$)

A=$S_{xx}={4V\over x^3}=2$

$B=S_{xy}=1$

$C=S_{yy}={4V\over y^3}=2$

$B^2-AC=1-4$<0

A=2>0

S取得极小值

当$x=\sqrt[3]{2V},y=\sqrt[3]{2V},z={v\over{xy}}={{\sqrt[3]{2V}}\over 2}$时，最省。

条件极值及拉格朗日乘数法

条件极值

如果对自变量作一定的限制，则相应的极值问题就是条件极值问题。

上面的水箱例子是将条件极值转化为无条件极值。可以通过拉格朗日乘数法求。

条件极值必要条件

函数

z=f(x,y)

在条件

$\varphi(x,y)=0$

下取得极值的必要条件

推导：

设$z_0=f(x_0,y_0)$是z=f(x,y)在条件$\varphi(x,y)$=0下的极值

设$\varphi(x,y)$=0 确定了一元隐函数y=y(x)

z=f(x,y(x))

在点x=$x_0$处取得极值

利用一元函数极值的必要条件求导，并令导数为0

z=f(x,y(x))

${{dz}\over{dx}}=f_x*1+f_y*{{dy}\over{dx}}=0$

$f_x(x_0,y_0)+f_y(x_0,y_0)*y'(x_0)=0$

$y'(x_0)=-{{f_x(x_0,y_0)}\over{f_y(x_0,y_0)}}$

隐函数y=y(x)求导

$y'(x_0)=-{{\varphi_x(x_0,y_0)}\over{\varphi_y(x_0,y_0)}}$

得${{f_x(x_0,y_0)}\over{f_y(x_0,y_0)}}={{\varphi_x(x_0,y_0)}\over{\varphi_y(x_0,y_0)}}$

${{f_x(x_0,y_0)}\over{\varphi_x(x_0,y_0)}}={{f_y(x_0,y_0)}\over{\varphi_y(x_0,y_0)}}$

即向量{${f_x(x_0,y_0)},{f_y(x_0,y_0)}$}和向量{${\varphi_x(x_0,y_0)},{\varphi_y(x_0,y_0)}$}平行

可以写成

$\nabla f(x_0,y_0)// \nabla \varphi(x_0,y_0)$

等价于$\exists \lambda_0$使

$\nabla f(x_0,y_0)=-\lambda_0 \nabla \varphi(x_0,y_0)$

$\nabla f(x_0,y_0)+\lambda_0 \nabla \varphi(x_0,y_0)=0$

梯度运算法则：

$\nabla(f,\lambda \varphi)=0$

$f(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$

$\nabla f(x_0,y_0,\lambda)=0$

即$(x_0,y_0,\lambda)$是$f(x,y,\lambda)$驻点

所以必要条件为：

$\exists \lambda_0$使$(x_0,y_0,\lambda_0)$为拉格朗日函数$(x,y,\lambda)$的驻点

拉格朗日乘子法

求法

求函数z=f(x,y)在条件$\varphi(x,y)=0$下的极值

1.作拉格朗日函数

$f(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$

2.求$f(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$的驻点

根据多元函数极值的必要条件

$F_x=f_x(x,y)+\lambda\varphi_x(x,y)=0$

$F_y=f_y(x,y)+\lambda\varphi_y(x,y)=0$

$F_\lambda =\varphi(x,y)=0$ 约束条件

解以上方程组，得驻点$(x_0,y_0,\lambda)$

3.$(x_0,y_0)$便是可能的条件极值点，可根据实际问题判断f$(x_0,y_0)$为条件极值。

思路

利用拉格朗日乘数，将目标函数（二元函数）与约束条件结合起来构造拉格朗日函数（三元函数）

从而将二元函数的条件极值转成三元函数的无条件极值。

例子

要做一个容积为V的无盖长方形水箱。问水箱的长宽高各取多大，才能使用料最省？

求函数S=xy+2(xz+yz)

在约束条件

xyz=V下的最小值

作拉格朗日函数

F=xy+2(xz+yz)+λ(xyz-V)

求F的驻点

$F_x$=y+2z+λyz=0

$F_y$=x+2z+λxz=0

$F_z$=2x+2y+λxy=0

$F_\lambda$=xyz-V=0

x=y

z=1/2x

λx=-4

得

x=y=$\sqrt[3]{2V}$

z=${1\over2}\sqrt[3]{2V}$

多个约束条件

函数u=f(x,y,z)

在两个约束条件

G(x,y,z)=0

H(x,y,z)=0

的极小值

作拉格朗日函数

F(x,y,z,λ,μ)=f(x,y,z)+λG(x,y,z)+μH(x,y,z)

求F的驻点就可以得到

$\min\limits_x$f(x)

s.t. $h_i(x)=0$ i=1,2,…,m

构建拉格朗日函数

$L(x,\lambda)=f(x)+\sum\limits_{i=1}^m\lambda_ih_i(x)$