bzoj4404 Binary vs Decimal

最新推荐文章于 2019-02-20 21:55:30 发布

原创最新推荐文章于 2019-02-20 21:55:30 发布 · 1.2k 阅读

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本文探讨了一个数学问题，目标是在不超过10,000的范围内找到满足特定条件的最小正整数。该整数的十进制表示必须是其二进制表示的后缀。通过宽度优先搜索算法，作者详细解释了解决方法并提供了代码实现。

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4404

题意：找出第n小的正整数，满足其十进制表达是其二进制表达的后缀。n<=10,000。

一个半月没更新博客了，感觉最近好浪啊。

对小数据打规律可以发现，如果一个正整数是满足条件的，那么其十进制表达的任何一个（以1开头的）后缀所对应的十进制数也是满足条件的。

例如，1100（十进制）是满足条件的，其后缀100以1开头，则100（十进制）也是满足条件的。

注意到上述结论的逆否命题，如果一个正整数不满足条件，那么不论再其十进制表达的前面加什么，其对应的十进制数也不满足条件。

我们可以做一次宽度优先搜索，初始队列里只有0和1两个元素。我们将队列中的每个数在开头加上0或1，然后计算其是否满足条件，如果不满足条件，则根据上述结论，这个数不必入队了，否则令这个数入队。当队中以1开头的元素数量达到n时，第n个即为问题的解。

应当注意到，要维持队内元素的有序性，应该对每一种位数的所有元素，先在这些元素前面都加上0，再在这些元素的前面都加上1。

我写的很暴力，很多地方都存在可优化的地方，例如队中的元素只需存储二进制形式，因为十进制数是它的后缀，完全没必要存，而我还是存进去了。

代码：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
#define INF 2147483648ll
typedef long long LL;
int pri[100005],hash[100005];
LL ans=INF,pro=1;
int count=0,N;
LL min(LL a,LL b)
{
if(a<b) return a;
return b;
}
int is_prime(int x)
{
int i,sq=(int)sqrt(x);
for(i=1;pri[i]<=sq;i++)
if(x%pri[i]==0) return 0;
return 1;
}
void dfs(int t,int k)
{
int i,j,tpro=pro,tt=t;
if(pro>=ans) return;
if(t==1)
{
ans=pro;
return;
}
if( t>N && is_prime(t+1)==1 ) ans=min(ans,pro*(LL)(t+1));
if( pri[k]-1>N || t<pri[k]-1 ) return;
for(i=k;pri[i]<=N+1;i++)
{
if(pri[i]-1>t) return;
if(t%(pri[i]-1)==0)
{
t/=(pri[i]-1);
pro*=(LL)pri[i];
dfs(t,i+1);
while(t%pri[i]==0)
{
t/=pri[i];
pro*=(LL)pri[i];
dfs(t,i+1);
}
pro=tpro;
t=tt;
}
}
}
int main()
{
int n,i,j;
scanf("%d",&n);
N=(int)sqrt(n);
for(i=2;i<=100000;i++)
if(hash[i]==0)
{
pri[++count]=i;
for(j=i;j<=100000;j+=i)
hash[j]=1;
}
dfs(n,1);
if(ans==INF) printf("-1");
else printf("%lld",ans);
return 0;
}