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可怜的假高中生ztr不再有资格成为一名信竞选手，但他总还可以是一个可怜的数学爱好者。

这一页的题目将展现一些常规技巧。

一 讨论 暴力即雅

1. 平面上有四个圆，半径分别为1,2,3,R，这四个圆两两相切，且六个切点两两不同。求R的可能取值。

2. 平面直角坐标系上有A(0,0),B(0,2),C（未确定）,D(2,2)，存在一点P使得S△ABP=S△BCP=S△CDP=S△ADP，求C的轨迹方程。

二 构造 灵活应变

3. 将平面上的每个有理点染成红色或蓝色，使得每一条平行于x轴的直线只和有限个红点相交，且每一条平行于y轴的直线只和有限个蓝点相交。

4. 如果一个（无限长的）正整数序列a_1,a_2,a_3,...，满足每一项都不能表示为其他若干项的和，则这个序列是好的。一个简单的情况是1,2,4,8,...。证明或推翻，存在一个正实数K，使得存在一个好的序列，满足对于任意正整数n有a_n<=n^K。

*4.2 如何确定K的最小值？

5. 给定正整数d，证明有无穷多对正整数(p,q)，满足|p-q*sqrt(d)|<1/q。

三 反证 弃车保帅

6. 有一个100行100列的01矩阵，且0和1的数量相等。定义一行（一列）的美观度为这一行（一列）0和1的数量的较大值，定义总美观度为所有行列美观度的最小值，求总美观度的最大值。

7. 平面上有n(n>2)个点，若不存在一条恰好经过两个点的直线，证明所有点共线。

四 化归 点燃货栈

8. 有2n+1个正整数，任意取出其中一个数，都满足剩下的数可以分成两组各n个，使得这两组的和相等。求证所有2n+1个数都相等，并推广至实数域。

9. Erdos: 给定素数p，证明对于任意2p-1个正整数，必能从中找出p个，使得这p个数的和为p的倍数（已知有两种不同的证明方法），并推广至一般正整数p。

10. 四面体ABCD的棱上（包括顶点）有三个点E,F,G，证明或推翻：S△EFG<=max(S△ABC,S△ABD,S△ACD,S△BCD)。

五 归纳 步步为营

11. 对于正整数a_1<a_2<a_3<...<a_100，求1/lcm(a_1,a_2)+1/lcm(a_2,a_3)+...+1/lcm(a_99,a_100)的最大值。

12. 平面上有一些点，证明总能将每个点染成红色或蓝色，使得每一条与坐标轴平行的直线上，红点和蓝点的数量最多相差1。

13. PKUSC2018: 有一个长为2n+1的未知01串，每次可以指定两位，询问这两位上的数码是否相等。至少询问多少次（这应当是一个关于n的函数），才能保证可以指出一位，满足这一位上的数码出现了超过n次。