傅里叶变换（Part III）_深度学习与离散傅里叶变换结合-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/jose_M/article/details/105667079

本文深入探讨离散傅里叶变换(DFT)的概念，解释如何通过DFT分析有限长离散信号中的正弦波分量。文章还讨论了DFT在信号处理中的应用，及其与傅里叶变换的关系，最后提到了DFT在深度学习中的潜在作用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

本系列主要介绍傅里叶变换和离散傅里叶变换的概念及理解，文本为该系列第三篇

离散傅里叶变换

离散傅里叶变换做的是一件什么事呢，是对一段有限长的离散信号，找出它含有的各个频率的正弦波分量。

接着上一篇的取样，如果取样后函数为 $f~(t)\widetilde{f}(t)$ ，其傅里叶变换为 $F~(μ)\widetilde{F}(\mu)$ ，上一篇说到 $F~(μ)\widetilde{F}(\mu)$ 和原函数的傅里叶变换 $F(μ)F(\mu)$ 之间的关系，下面我们从另一个角度来看 $F~(μ)\widetilde{F}(\mu)$

$F~(μ)=∫−∞∞f~(t)e−j2πμtdt=∫−∞∞Σn=−∞∞f(t)δ(t−nΔT)e−j2πμtdt=Σn=−∞∞∫−∞∞f(t)δ(t−nΔT)e−j2πμtdt=Σn=−∞∞fne−j2πμnΔT\widetilde{F}(\mu)=\int_{-\infty}^{\infty}\widetilde f(t)e^{-j2\pi \mu t}dt=\int_{-\infty}^{\infty}\Sigma_{n=-\infty}^{\infty} f(t)\delta(t-n\Delta T)e^{-j2\pi \mu t}dt=\Sigma_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\delta(t-n\Delta T)e^{-j2\pi \mu t}dt=\Sigma_{n=-\infty}^{\infty}f_ne^{-j2\pi \mu n\Delta T}$

其中 $∫−∞∞f(t)δ(t−nΔT)dt=fn=f(nΔT)\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\delta(t-n\Delta T)dt=f_n=f(n\Delta T)$

正如上一篇所说， $F~(μ)\widetilde{F}(\mu)$ 为周期函数，我们通过对一个周期进行采样来描述 $F~(μ)\widetilde{F}(\mu)$ 的一个周期，相当于 $F(μ)F(\mu)$ 。假设我们在 $μ=0\mu=0$ 到 $μ=1/ΔT\mu=1/\Delta T$ 之间得到M个等间距的样本，即依次在 $μ=mMΔT,m=0,1,2,…,M−1\mu=\frac{m}{M\Delta T},m=0,1,2,\dots,M-1$ 处采样，得到 $F(m)=Σn=0M−1fne−j2πmn/MF(m)=\Sigma_{n=0}^{M-1}f_ne^{-j2\pi mn/M}$ ，同时离散傅里叶反变换为 $fn=1MΣm=0M−1Fmej2πmn/Mf_n = \frac{1}{M}\Sigma_{m=0}^{M-1}F_me^{j2\pi mn/M}$