本文深入探讨了对极几何在三维重建中的应用，详细介绍了对极约束的数学表达，以及如何通过本质矩阵和基础矩阵进行求解。内容包括对极平面、极点、极线的概念，本质矩阵的性质和求解方法，如八点法、RANSAC和LMEDS。此外，还讨论了三角测量用于计算特征点深度的过程。
对极几何
描述两个视图之间的射影几何关系，计算相机不同位置的变换关系。
对极约束
以上图为例，I1I_1I1和I2I_2I2是两帧图像，它们之间的相机运动关系是R,tR, tR,t。O1O_1O1和O2O_2O2分别是这两个位姿处的光心，设通过特征匹配等手段确定p1和p2p_1和p_2p1和p2是同一个特征点在两幅图像上的投影，设它为[X,Y,Z]T[X, Y, Z]^T[X,Y,Z]T。定义以下术语：
对极平面：O1,O2,PO_1, O_2, PO1,O2,P所在的平面，显然，p1和p2p_1和p_2p1和p2应该也在这个面上；
基线：O1,O2O_1, O_2O1,O2的连线；
极点：基线与像平面I1I_1I1和I2I_2I2的交点e1e_1e1和e2e_2e2；
极线：对极平面与两个像平面的交线l1l_1l1和l2l_2l2。
由小孔成像模型知
s1p1=KP,s2p2=K(RP+t) s_1p_1=KP, s_2p_2=K(RP+t) s1p1=KP,s2p2=K(RP+t)
其中s1s_1s1和s2s_2s2是缩放系数，如果将p1p_1p1和p2p_2p2写成齐次坐标，可以写成up to scale（在某个尺度下成立）的等式
p1=KP,p2=K(RP+t) p_1=KP, p_2=K(RP+t) p1=KP,p2=K(RP+t)
像素点的相机归一化的坐标
x1=K−1p1,x1=K−1p2(1) x_1=K^{-1}p_1, x_1=K^{-1}p_2(1) x1=K−1p1,x1=K−1p2(1)
带入得
x2=Rx1+t x_2=Rx_1+t x2=Rx1+t
t×x2=t×Rx1+t×tt\times x_2=t\times Rx_1+t\times t t×x2=t×Rx1+t×t
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