NOIP初赛中的算法复杂度问题学习笔记

NOIP初赛中的算法复杂度问题学习笔记

1. 定义
   这个定义没什么好说的，百度启动。

存在常数 c，使得当 N >= c 时 T(N) <= f(N)，表示为 T(n) = O(f(n))

意思就是O(f(n))表示的是T(n)的增长速度，由于T(n)可以看做是渐进于O(n)，所以这也叫做算法时间复杂度的渐进表示法。

2. 做题技巧

   考试中做题还是最重要的。

• 抠脚题
  对于一些简单的一批的顺序结构程序，数循环就够了。
  举个栗子：

for(int i = 0; i < n; ++i)
{
   
   
	printf("我是校草");//基本语句时间复杂度看做O(1)
}

这里有n个O(1)，所以算法时间复杂度是O(n)。如果我们暴力套一堆循环。

for(int i = 0; i < n; ++i)
{
   
   
	for(int j = 0; j < n; ++j)
	{
   
   
		for(int k = 0; k < n; ++k)
		{
   
   
			printf("你是校花");
		}
	}
}

那么很显然，算法复杂度就是O(n³)。

再来一个，要注意这里内循环的初始值是i。

for(int i = 0; i < n; ++i)
	for(int j = i; j < n; ++j)
		printf("校草喜欢校花");

很显然，内循环运行了${\log }_2(n)$次，所以$T(n)=O(\log n)$
对付这种程序数循环个数就够了。很显然联赛不会考这么简单的 。

• 递归程序分析

long fun(int n) {
   
   
    if (n <= 1) {
   
   
        return 2;
    } else {
   
   
        return fun(n - 1) + fun(n - 2);
    }
}

好，你厉害，一眼看出是斐波那契数列然后默写了个复杂度。那看不出来岂不完蛋了！其实在赛场上可以手推得，有高中的数学基础就可以了。
这个时间复杂度可以写成一个递推式：

$T(0)=T(1)=1$
$T(n)=</$