数据结构——树的基础知识

一、树

1.定义：

树（Tree）是n（n>=0）个结点的有限集。 n=0又称为空树。在任意一课非空的树中：（1）有且仅有一个特定的称为跟（Root）的结点；（2）当n>1时，其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree）。

2.特性：

（1）子树是不相交的。

（2）除根节点外，每个节点有且仅有一个父节点。

（3）一个N个节点的树有N-1条边。

3.基本术语

（1）结点的度（Degree）：结点的子树个数

（2）树的度：树的所有结点中最大的度数

（3） 叶结点（Leaf）：度为0的结点

（4）树的深度（Depth）：树中所有结点中的最 大层次是这棵树的深度。

二、二叉树

1.定义

二叉树（Binary Tree）是n（n>=0）个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

2.性质

性质1：在二叉树的第i层上至多有个结点（i≥1）。

性质2：深度为k的二叉树至多有个结点（k≥1）。

性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。

性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为||+1（|x|表示不大于x的最大整数）。

性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树（其深度为）的结点按层序编号（从第1层到第层，每层从左到右），对任一结点i（1≤i≤n）有：

1．如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是结点。

2．其左孩子是结点2i，如果2i>n，则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）；

3．其右孩子是结点2i+1，如果2i+1>n，则结点i无右孩子；

三、特殊二叉树

1、满二叉树：

深度为k的二叉树有个结点。

2、完全二叉树：

按顺序排列没有空档的树

3、最大堆/最小堆

定义：（1）堆是一颗完全二叉树；

           （2）父节点大于等于（最大堆）或小于等于（最小堆）其左右孩子结点的值。

          （3）堆中每个结点的子树都是堆树。

4、二分搜索树（BST）：

定义：（1）非空左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；

           （2）非空右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；

           （3）左、右子树也分别为二分搜索树。

5、平衡二叉树（AVL）

每个节点左右子树高度差至多为1的二分搜索树。

6、哈夫曼树