背包问题变式

最新推荐文章于 2023-07-22 12:04:32 发布

原创最新推荐文章于 2023-07-22 12:04:32 发布 · 314 阅读

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这篇博客探讨了如何使用动态规划解决两类背包问题：一是求体积不超过限制的最大价值，二是寻找总价格不超过预算的最小重量机器设计。在第一类问题中，每组物品必须恰好选取一个，并要求输出字典序最小的选取方案。在第二类问题中，给出了每个部件的不同供应商及其重量和价格，目标是找到总价格不超过预算的最小重量设计。博主提供了详细的算法实现和样例解析，强调了字典序最小方案的计算方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1.有n组物品。每组物品里面必须恰好选1个。求体积不超过m的最大价值。

题解：
跟分组背包的类似，第i-1的状态只有选择了物品，才有价值否则为0。把 $d p i, j = d p i - 1, j$ 这个去掉。让转移必须由 i 层选择了物品才能从i-1走过来
如果第i层没有选任何物品，则第i层的状态就会出现价值为0的断层，后面的就不会更新了
注意i=1的特别情况即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1005;
int f[N][N],n,c,v[N],w[N];
int main()
{
	cin>>n>>c;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<2;j++)cin>>v[j]>>w[j];
		for(int j=c;j>=0;j--)
		{
			for(int s=0;s<2;s++)
			{
				if(j>=w[s])
				{
					if(f[i-1][j-w[s]]>0)f[i][j]=max(f[i-1][j-w[s]]+v[s],f[i][j]);
					else if(i==1)f[i][j]=max(f[i-1][j-w[s]]+v[s],f[i][j]);
				}
				
			}
		}
	}
	cout<<f[n][c];
	return 0;
}

2.最小重量机器设计问题(分组背包求方案）

设某一机器由n个部件组成，每一种部件都可以从m个不同的供应商处购得。设wij是从供应商j 处购得的部件i的重量，cij是相应的价格。试设计一个算法，给出总价格不超过d的最小重量机器设计。

输入格式:
第一行有3 个正整数n ，m和d， 0<n<30, 0<m<30, 接下来的2n 行，每行n个数。前n行是c，后n行是w。

输出格式:
输出计算出的最小重量，以及每个部件的供应商

输入样例:
3 3 4
1 2 3
3 2 1
2 2 2
1 2 3
3 2 1
2 2 2
输出样例:
在这里给出相应的输出。例如：

4
1 3 1
·······················································································
题意：给你n组背包，每组m个物品。每组必须只能恰好选一个。求体积不超过d的最小价值。并输出字典序最小方案

题解：因为要求最小价值。所以初始化成无穷大。因为要求字典序最小方案。所以定义 $f [i] [j]$ 表示 $i - n$ 物品体积不超过j的最小价值。计算 $f [i] [j]$ 的过程与1类似，从n往1计算。
这样最后才能从1-n枚举取哪个物品，保证是字典序最小。

若最后从n开始枚举选取的物品。会被这组数据卡掉。正解是1.2，错解输出2.1，不是字典序最小了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=35,M=10005;
#define inf 0x3f3f3f3f
int f[N][M],n,m,d,v[N][N],w[N][N];
int main()
{
	cin>>n>>m>>d;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)cin>>w[i][j];
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)cin>>v[i][j];
	memset(f,0x3f,sizeof f);
	for(int i=0;i<=d;i++)f[n+1][i]=0;
	for(int i=n;i>=1;i--)
	{
		for(int j=d;j>=0;j--)
		{
			for(int s=1;s<=m;s++)
			{
				if(j>=w[i][s])
				{
					if(f[i+1][j-w[i][s]]!=inf)	f[i][j]=min(f[i+1][j-w[i][s]]+v[i][s],f[i][j]);
					else if(i==1)f[i][j]=min(f[i+1][j-w[i][s]]+v[i][s],f[i][j]);
				}				
			}			
		}
	}
	vector<int>ans;
	int vol=d;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			if(vol>=w[i][j]&&f[i][vol]==f[i+1][vol-w[i][j]]+v[i][j])
			{
				vol-=w[i][j];
				ans.push_back(j);
				break;//每组只取一个，取到了就break
			}
		}
	}
	cout<<f[1][d]<<endl;
	for(auto i:ans)printf("%d ",i);
	return 0;
}