几道有趣的思维题

problem 1

从1~n里选出一些数乘起来构成完全平方数，求能得到的最大完全平方数，结果对1e9+7取模，$n<=10^6$

思路

如果从判断哪些能选这个角度来做这个题那么就会陷入死胡同，不妨看哪些不能选，把n!表示成小于等于n的质数的幂的乘积，然后对于幂为奇数的，需要去掉一些数让它的幂变成偶数，怎么去呢？去掉这个质数就ok。那么问题就是对于$n!=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_t^{c_t}$统计每个$c_i$的大小（奇偶）。

对于一个$p_i$的每一个$p_i^k(1<=k<=c1)$，求$\sum [1<=x<=n][gcd(x,p_i^k)=p_i^k]$，而它等于$\frac{n}{p_i^k}-\frac{n}{p_i^{k+1}}$，所以$c_i=\sum k(\frac{n}{p_i^k}-\frac{n}{p_i^{k+1}})[p_i^k<=n]$，复杂度为$O(\frac{n}{\log n}*\log n)=O(n)$。

problem 2

给n个数$a_1$~$a_n$和L,R，随机选择一个区间$[l,r](l<=r)$，求区间中数的平均值在[L,R]之间的概率，$n<=10^6$

思路

实际上就是求区间平均值在[L,R]之间的个数。而$[L<=x<=R]=[1<=x<=R]-[1<=x<=L-1]$，求区间平均值小于等于某个数R的区间个数即可。把所有数都减去R，转化为求区间和小于等于0的区间个数。令$sum_0=0，sum_i=\sum a_k[1<=k<=i]$那么就是求满足$sum_j>=sum_i，0<=j<i<=n的个数$，而这个可以利用平衡树在$O(n \log n)$的时间内求出来。更好的办法是将所有的sum排序，然后用双指针快速统计，复杂度$O(n)$。

problem 3

有一张长度为n的纸条，从左至右编号为0~n，给出m个数，表示每次折叠的位置，求经过m次折叠后纸条的长度。$n<=10^{18}$，$m<=1000$

思路

每折叠一次，对纸条重新编号，然后更新长度和后续未完成的折叠位置在新的编号规则下的编号。这样复杂度为$O(m^2)$。