这个东西好像在比赛中的用处不大,而且也不像欧拉和费马一样有一些额外的拓展
威尔逊定理:
当n为质数时有:
(
n
−
1
)
!
≡
−
1
(
m
o
d
  
n
)
(n-1)!\equiv -1(mod\;n)
(n−1)!≡−1(modn)或者是:
(
n
−
2
)
!
≡
1
(
m
o
d
  
n
)
(n-2)!\equiv 1(mod \;n)
(n−2)!≡1(modn)
应用:
在网上找到了一道很有意思的数学脑洞题链接
求 ∑ k = 1 n [    ( 3 k + 6 ) ! + 1 3 k + 7 − [ ( 3 k + 6 ) ! 3 k + 7 ]    ]        ( [ x ] 表 示 向 下 取 整 ) 求\sum_{k=1}^n[\;\dfrac{(3k+6)!+1}{3k+7}-[\dfrac{(3k+6)!}{3k+7}]\;] \;\;\;([x]表示向下取整) 求k=1∑n[3k+7(3k+6)!+1−[3k+7(3k+6)!]]([x]表示向下取整)
根据威尔逊定理可知,当3k+7为素数时 , (    ( 3 k + 6 ) ! + 1    ) % ( 3 k + 7 ) = 0 (\;(3k+6)!+1\;)\%(3k+7)=0 ((3k+6)!+1)%(3k+7)=0
观察 [ ( 3 k + 6 ) ! 3 k + 7 ] , [\dfrac{(3k+6)!}{3k+7}], [3k+7(3k+6)!],分子加1后这个式子为一个整数,也就是说 [ ( 3 k + 6 ) ! 3 k + 7 ] = ( 3 k + 6 ) ! + 1 3 k + 7 − 1 [\dfrac{(3k+6)!}{3k+7}]=\dfrac{(3k+6)!+1}{3k+7}-1 [3k+7(3k+6)!]=3k+7(3k+6)!+1−1
所以3k+7为素数时,整个式子的答案为1
有意思的是,当3k+7不是素数时,显然3k+7可以写成a*b , 且a,b!=1,a,b!=13k+7 , 所以a和b会在(3k+6)!里面出现,即
[
(
3
k
+
6
)
!
3
k
+
7
]
=
(
3
k
+
6
)
!
3
k
+
7
[\dfrac{(3k+6)!}{3k+7}]=\dfrac{(3k+6)!}{3k+7}
[3k+7(3k+6)!]=3k+7(3k+6)!
所以3k+7不是素数时,整个式子的答案为0
有人问我如果a=b的时候不是在1~(3k+6)只出现一次吗?
其实,第一个出现这种情况是在k=3时,3k+7是16,也就是说我们一定可以找到其他两个数(比如2和8)
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