bookshelf(斐波那契gcd,容斥因子,欧拉降幂)

原题 : hdu 6363

题意 :

n本书塞进k个书架,第i层的书为x,那么第i层的价值$v_i$为$2^{F(x)}-1(F(x)为斐波那契数列)$,求$gcd(v_1...v_k)$的期望$(gcd(0,x)=x)$

解析 :

对于任意两个书架的书的数量a,b

$$gcd(2^{F(a)}-1,2^{F(b)}-1)\Rightarrow 2^{gcd(F(a),F(b))}-1\Rightarrow 2^{F(gcd(a,b))}-1$$

对于n的任意分割情况 $n=x_1+x_2+...+x_k设:ans=gcd(v_1...v_k),d=gcd(x1,x2...xk)$

$$ans=2^{F(d)}-1$$

那么我们可以遍历所有的可能的d,并得出d所对应的出现次数

这个做法和前几天做的欧拉函数的题差不多,对n的因数容斥一下就好

容斥: $\\$ 对于一个n的因数x,d(上述)为x的倍数的方案数为$C_{n/x+k+1}^{k+1}$(看成n/x个x块,中间插k-1个板子分成k个部分(0也合法),方案数为全排列除去板子的顺序和块的顺序) $\\$ 当然,这种方法把d=x,2x,ix都包括进来了,所以从上往下维护去重便是d=x的次数了

考虑到$2^{F(d)}$要炸,需要用欧拉降幂处理 $\\$ $a和p互质的情况下,a^b\%p=a^{b\%\phi(p)}\%p$ $a和p不互质的情况下,a^b\%p=a^{b\%phi(p)+phi(p)}\%p$

最终答案为:

$$\dfrac{\sum_{d|n}{}((2^{F(d)}-1)*g(d))}{C_{n+k-1}^{k-1}}(g(d)为d的次数)$$

$\\$

---

$\\$
代码:

#include<bits/stdc++.h>
#define debug(ii) printf("-> %lld\n",ii)
#define mmm(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2000000;//C(n+k-1,k-1)所以开两倍
const ll mod =1e9+7;

ll swift(ll a,ll b){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1ll)ans=ans*a%mod;
        b>>=1;a=a*a%mod;
    }
    return ans;
}

ll g[N+9],fac[N+9],inv_fac[N+9],f[N+9];

ll C(ll a,ll b){
    if(b>a||b<0||a<0)return 0;
    return fac[a]*inv_fac[b]%mod*inv_fac[a-b]%mod;
}

void init(){
    fac[1]=fac[0]=1;
    for(ll i=2;i<=N;i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;

    inv_fac[N]=swift(fac[N],mod-2);
    for(ll i=N-1;i>=0;i--)
        inv_fac[i]=inv_fac[i+1]*(i+1ll)%mod;

    f[0]=0,f[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++)
        f[i]=(f[i-1]+f[i-2])%(mod-1);//欧拉降幂
}

ll vd[N+9],tot;

int main(){
    init();
    int t;scanf("%d",&t);
    while(t--){
        mmm(g,0);tot=0;
        ll n,k;scanf("%lld%lld",&n,&k);
        for(ll i=1;i<=n;i++)if(n%i==0)vd[++tot]=i;

        for(int i=tot;i>0;i--){
            ll d=vd[i];
            g[d]=C(n/d+k-1,k-1);
            for(int j=i+1;j<=tot;j++)
                if(vd[j]%d==0)
                g[d]=(g[d]-g[vd[j]]+mod)%mod;
        }

        ll ans=0;
        for(int i=1;i<=tot;i++){
            ll d=vd[i];
            ans=(ans+(swift(2,f[d])-1)%mod*g[d]%mod)%mod;
        }

        ans=ans*swift(C(n+k-1,k-1),mod-2)%mod;
        printf("%lld\n",ans);
    }
}