Nothing is Impossible(组合数的转换处理)

最新推荐文章于 2024-02-02 17:25:37 发布

JK Chen

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CC 4.0 BY-SA版权

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/jk_chen_acmer/article/details/81349068

本文针对HDU6335问题提供了解析，介绍了如何通过递推公式优化组合数的计算，并使用莫队算法高效求解区间内组合数之和。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

原题:hdu 6335

题意:

给n，m，输出S(n,m): C(n,0)+…C(n,m)

解析：

遇到阶乘的时候我是很开心的，因为我可以直接预处理阶乘和逆元，感觉无敌了，然而数据太大TLE了

首先有一个阶乘转换的公式：C(n,m)==C(n-1,m)+C(n-1,m-1)，证明我就不写了，直接展开就可以推出来了

C(n,m)==C(n-1,m)+C(n-1,m-1) ;
C(n,m-1)==C(n-1,m-1)+C(n-1,m-2) ;
…
C(n,2)==C(n-1,2)+C(n-1,1) ;
C(n,1)==C(n-1,1)+C(n-1,0) ;
C(n,0)==C(n-1,0)

–>S(n,m)=2*S(n-1,m)-C(n-1,m)

就是说S(n,m)和S(n-1,m)可以直接转化,而且我们知道S(n,m)和S(n,m-1)也可以直接转换,so,我们可以在做出一个询问的答案后,想办法利用前面的这个答案来推出之后的答案

这个时候,有一个很符合题意的算法,莫队…(这里就不讲了,博客里有)

代码:


D read(){ D ans=0; char last=' ',ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9')last=ch,ch=getchar();
while(ch>='0' && ch<='9')ans=ans*10+ch-'0',ch=getchar();
if(last=='-')ans=-ans; return ans;
}
const int N=100009;

D swift(D a,D b){
    D ans=1ll;
    while(b){
        if(b%2)ans=ans*a%mod;
        b>>=1;
        a=a*a%mod;
    }return ans;
}

//阶乘初始化
D fac[N];
D inv_fac[100007];
void init(){
    fac[1]=1;
    for(D i=2;i<=100000;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;//初始化阶乘

    inv_fac[100000]=swift(fac[100000],mod-2);//费马小定理求 1000！的逆元

    for(D i=99999;i>=1;i--)
    inv_fac[i]=(inv_fac[i+1]*(i+1))%mod; //预处理 i!的逆元
}


D C(D a,D b){//组合数 a下
    if(b>a||b<0)return 0;
    if(b==0||a==b)return 1;
    return fac[a]*inv_fac[b]%mod*inv_fac[a-b]%mod;
}

D k=(D)sqrt(100000);

struct node {
    D l,r;int id;
    bool operator<(const node a)const{
        if(l/k!=a.l/k)return l/k<a.l/k;
        return r<a.r;
    }
}e[100009];
D ans[100009];

int main(){
    init();
    int t=read();
    for(int i=1;i<=t;i++){
        e[i].id=i,e[i].r=read(),e[i].l=read();
    }
    sort(e+1,e+1+t);
    //D l=e[1].l,r=e[1].r;
    D l=0,r=1;
    D now=1;
    for(int i=1;i<=t;i++){
        while(e[i].r>r)now=(2*now-C(r,l)+mod)%mod,r++;//S(r,l)->S(r+1,l)
        while(e[i].l<l)now=(now+mod-C(r,l))%mod,l--;//S(r,l)->S(r,l-1)
        while(e[i].r<r)now=((now+C(r-1,l))*500000004%mod),r--;//S(r,l)->S(r-1,l)
        while(e[i].l>l)now=(now+mod+C(r,l+1))%mod,l++;//S(r,l)->S(r,l+1)
        ans[e[i].id]=now;
    }
    for(int i=1;i<=t;i++){
        printf("%lld\n",ans[i]);
    }
}