Will he Die? （逆元运算）

最新推荐文章于 2024-01-13 12:07:21 发布

JK Chen

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分类专栏：数论/数学知识点

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本文探讨了一种在一维坐标轴上的随机行走问题，通过数学分析得出特定位置到达概率的计算方法，并给出了相应的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

原题：Gym - 101778A

题意：

起点为一维坐标轴原点，每一次都有一半概率左走一格，一半概率右走一格，设m步后走到n点的可能性为 p / q，求 z 满足 z*q≡p (mod 1e9+7)

解析：

首先排除 n和m不同奇或不同偶的情况，以及|n|>m的情况

找规律，发现可能性为C((n+m)/2,m)(m上) / 2^m

接下来找z 满足 z*2^m ≡ C((n+m)/2,m) (mod 1e9+7)

为了方便，写成z*q≡p (mod 1e9+7)

两边乘q的逆元，得：z*q*inv(q)≡p*inv(q) (mod 1e9+7)

可知q*inv(q)%mod==1 ，所以有z≡p*inv(q) (mod 1e9+7)

代码：


#define D long long
#define mod ((int)1e9+7)
D read(){ D ans=0; char last=' ',ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9')last=ch,ch=getchar();
while(ch>='0' && ch<='9')ans=ans*10+ch-'0',ch=getchar();
if(last=='-')ans=-ans; return ans;
}

D swift(D a,D b){//a下
    D ans=1ll;
    while(b){
        if(b%2)ans=ans*a%mod;
        b>>=1;
        a=a*a%mod;
    }return ans;
}
D inv(D a){return swift(a,mod-2);}
D fac[N];
void init_fac(){
    fac[0]=fac[1]=1ll;
    for(int i=2;i<=N-9;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
}
D C(D a,D b){//组合数
    if(b>a||b<0)return 0;
    return fac[a]*inv(fac[b])%mod*inv(fac[a-b])%mod;
}

int main(){
    init_fac();
    int t=read();
    while(t--){
    D q,p;
    D n=read(),m=read();
    int f1=abs(n%2),f2=abs(m%2);
    if(f1!=f2||abs(n)>m){
        printf("0\n");continue;
    }
    q=swift(2,m);
    p=C(m,(n+m)/2);

    D ans=p%mod*inv(q)%mod;
    cout<<ans<<endl;

    }
}