模运算中的逆元

1 取模

在c++中, 我们可以把$(a+b)\%m$化简为$(a\%m+b\%m)\%m$, 同理

$$(a\times b)\%m=(a\%m\times b\%m)\%m$$

$$(a-b)\%m=(a+(-b))\%m=(a\%m+(-b)\%m)\%m=(a\%m-b\%m)\%m$$

但是$(a÷b)\%m$可以化简为$(a\%m÷b\%m)\%m$吗, 显然不行, 因为c++中的除号是整除

这就需要用到逆元, 但是在介绍之前需要先铺垫一些知识点, 想要直接跳到结尾点击此处

本文中小括号表示最大公因数: $(a,b,c,\dots )$代表$gcd(a,b,c,\dots )$, 百分号表示取模

2 整除

定义: 有两个正整数$a,b$$(a\ne 0)$, 如果有一个正整数$k$, 使$b=ka$, 那么说明$a$能整除$b$, $b$能被$a$整除, 用$a\mid b$来表示

2.1 整除性质

2.1.1 性质1: 正负对整除无影响

$$a\mid b\iff a\mid -b\iff -a\mid b\iff |a|\mid |b|$$

证明: $\because a\mid b\therefore$由定义得有一整数$c$使$b=ac$, 可以得到$-b=a(-c),b=-a(-c),|b|=|ac|=|a||c|$

2.1.2 性质2: 传递

$$a\mid b,b\mid c\Rightarrow a\mid c$$

证明: $\because a\mid b\therefore$由定义得有一整数$d$使$b=ad$, $\because b\mid c\therefore$由定义得有一整数$e$使$c=be$, $\therefore c=ade\therefore$由定义得$a\mid c$

2.1.3 性质3

有两个整数$x,y$
$$a\mid b,a\mid c\Rightarrow a\mid (bx$$