素数筛(线性筛法)

素数也算是程序设计比赛中经常遇到的老对手了，对付它最基本的方法（这里说的是基本，不是蠢，怎么说我以前也一直在用）是通过素数的定义判断，只能被1和本身整除的数是素数。这种方法适合判断单个数是否为素数，当要求一个范围时，这种方法就基本上是T了。

这时我们就可以使用素数筛来做。

筛法的思想是去除要求范围内所有的合数，剩下的就是素数了，而任何合数都可以表示为素数的乘积，因此如果已知一个数为素数，则它的倍数都为合数。

先附上比较好理解的代码（粗略版）

#include"cstdio"  
#include"cstring"  
using namespace std;  
#define MAX 100000//求MAX范围内的素数  
long long su[MAX],cnt;  
bool isprime[MAX];  
void prime()  
{  
    cnt=1;  
    memset(isprime,1,sizeof(isprime));//初始化认为所有数都为素数  
    isprime[0]=isprime[1]=0;//0和1不是素数  
    for(long long i=2;i<=MAX;i++)  
    {  
        if(isprime[i])  
            su[cnt++]=i;//保存素数i  
        for(long long j=1;j<cnt&&su[j]*i<MAX;j++)  
        {  
            isprime[su[j]*i]=0;//筛掉小于等于i的素数和i的积构成的合数  
        }  
    }  
}  
int main()  
{  
    prime();  
    for(long long i=1;i<cnt;i++)  
        printf("%d  ",su[i]);  
    return 0;  
}  

因为对于每一个数i ( i>=2)来说，如果它是非素数，那它一定会在[ 2 , i-1 ]内有一个因数，所当for语句到了i时，isprime还是1的话，说明i一定是素数。

不过这个是粗略版的代码，有很多重复的计算，比如2*3=6，在素数2的时候筛选了一遍，在素数为3时又筛选了一遍。浪费了很多时间，可能对于时间要求比较严格的题目还是可能T掉，所以需要改进一下代码。

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线性筛

每次只要筛选小于等于i的第一个素因子的素数与i的乘积，既不会造成重复筛选，又不会遗漏， 时间复杂度O(N)。

为什么不会重复筛呢? 每个数都会被它的第一个素因子筛掉所以不会重复

代码如下：

int pri[N+9>>1],now;
bool vis[N+9];
void init(){
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!vis[i])pri[++now]=i;
        for(int j=1;j<=now&&pri[j]*i<=N;j++){
            vis[pri[j]*i]=1;
            if(i%pri[j]==0)break;
        }
    }
}