34、贝叶斯学习中的变分贝叶斯GMM与高斯过程

贝叶斯学习中的变分贝叶斯GMM与高斯过程

1. 变分贝叶斯高斯混合模型（Variational Bayesian GMMs）

变分贝叶斯高斯混合模型（GMM）是一种用于推导GMM最佳拟合变分分布的算法。以下是该算法的详细步骤：
- 输入 ：$\alpha^{(0)}_m, \nu^{(0)}_m, \Phi^{(0)}_m, \lambda^{(0)}_m, \nu^{(0)}_m | m = 1, \cdots, M$
- 初始化 ：设置$n = 0$
- 迭代过程 ：
- E步 ：使用公式(14.23)收集统计量${r_m}$：
- ${ \alpha^{(n)}_m, \nu^{(n)}_m, \Phi^{(n)}_m, \lambda^{(n)}_m, \nu^{(n)}_m } + x \to { r_m }$
- $r_m$的更新公式为：$r_m \propto \pi_m B^{1/2}_m \exp \left( -\frac{d}{2\nu^{(1)}_m} - \frac{\lambda^{(1)}_m}{2} (x - \nu^{(1)}_m)^\top (\Phi^{(1)}_m)^{-1} (x - \nu^{(1)}_m) \right)$
- M步 ：使用公式(14.21)和(14.22)更新所有超参数：
- ${ \alpha^{(n)}_m, \nu^{(n)}_m, \Phi^{(n)}_m, \lambda^{(n)