关于死理性派的恋爱问题

之前在科学松鼠会看到 这篇文章，文章中的恋爱问题的另外两个版本是最大麦穗问题和最大钻石问题：


1，从一块麦田的一边走到另外一边，从所经过的麦穗中选择最大的麦穗，不允许回头，且只有一次选择机会，那么在怎样的策略下才能选择最大的麦穗？


2，在一个流水线上，依次从你面前经过一组大小不同的钻石，只有一次选择机会，制定一个策略，尽可能选择最大的钻石？


注意，这里的目标是选择最大的麦穗与钻石，显然，在随机的情况下，选中最大目标的概率为1／N，N为样本数。如果我们拒掉前N／e个样本（e为自然底数），并记录这N／e个样本的最大值MAX，再从剩下的样本中选择第一个大于MAX的那个数，这样得到最大值的概率最大，为1／e，约0.37。


但从另外一个角度来看，这也许并不是最佳的策略。在实际生活中，大多数人并不是希望得到最好的，这样的概率很小，只是希望选择尽可能好的，也就是说，我们希望结果的期望值达到最大。一个形式化的描述是：
给定1～100这个100个整数的一个随机排列，从这个排列的头到尾遍历一次，只有一个选择机会，怎样能够使得到的值的期望最大？

策略是：用前K个值的最大值MAX作为标准，在剩下的100－K个值中选择第一个比MAX大的值。

用程序模拟的结果如下：

当K取10时，得到的期望是最大的，约为91.48。

程序代码(by oldtimes.info)

#!/usr/bin/ruby 
#
#
def rndarr(array)
    tmp=Array.new
    result=Array.new
    s=array.size
    for i in 0...s
        index=rand(s)
        if tmp[index]==1
            redo
        else
            result.push(array[index])
            tmp[index]=1
        end
    end

    result
end


range=100
arr=(1..range).to_a
scores=(1..range).to_a
cycles=11000
for i in 0...cycles do
    narr=rndarr(arr)
    for j in 0...range do
        max=0
        # get the max in 0..j
        for k in 0...j do 
            if narr[k]>max
                max=narr[k]
            end
        end
        
        # choose the number that >max 
        for k in j...range do
            if narr[k]>max
                scores[j]+=narr[k]
                break
            end
            if k==range-1
                scores[j]+=narr[k]
            end
        end
    end
end

scores.each_with_index{|value,index|puts index.to_s+"  "+(value*1.0/cycles).to_s}