poj1811（素数判断与合数分解模板）

最新推荐文章于 2020-05-31 22:37:34 发布

jiqiujia

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分类专栏： ACM 文章标签： ACM 素数合数

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本文介绍了一种基于费尔马小定理和Miller-Rabin测试的高效素数判断方法，并提供了一个利用Pollard's Rho算法进行合数分解的实现方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

原文地址：poj 1811（素数判断与合数分解模板） 作者：ac之重生

素数的测试:

费尔马小定理:如果p是一个素数,且0<a<p,则a^(p-1)%p=1.
利用费尔马小定理,对于给定的整数n,可以设计素数判定算法,通过计算d=a^(n-1)%n来判断n的素性,当d!=1时,n肯定不是素数,当d=1时,n 很可能是素数.

二次探测定理:如果n是一个素数,且0<x<p,则方程x^2%p=1的解为:x=1或   x=p-1.
           利用二次探测定理,可以再利用费尔马小定理计算a^(n-1)%n的过程中增加对整数n的二次探测,一旦发现违背二次探测条件,即得出n不是素数的结论.

   如果n是素数,则(n-1)必是偶数,因此可令(n-1)=m*(2^q),其中m是正奇数(若n是偶数,则上面的m*(2^q)一定可以分解成一个正奇数乘以2的k次方的形式),q是非负整数,考察下面的测试:
    序列:
        a^m%n; a^(2m)%n; a^(4m)%n; …… ;a^(m*2^q)%n
   把上述测试序列叫做Miller测试,关于Miller测试,有下面的定理:

定理:若n是素数,a是小于n的正整数,则n对以a为基的Miller测试,结果为真.
Miller测试进行k次,将合数当成素数处理的错误概率最多不会超过4^(-k).

#include<iostream>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define MAX (pow(2.0,60)) //标记最大值
#define C 240
#define TIME12 //Miller测试次数
using namespace std;

__int64 MIN;

__int64 gcd(__int64 a, __int64 b) //计算a和b的最大公约数
{
if (b ==0)
return a;
returngcd(b, a % b);
}

__int64 mod_mult(__int64 a, __int64 b, __int64 n) //计算(a*b) modn
{
__int64 s =0;
a = a %n;
while (b){
if (b & 1) {
s += a;
if (s >= n)
s -= n;
}
a = a << 1;
if (a >= n)
a -= n;
b = b >> 1;
}

returns;
}

__int64 mod_exp(__int64 a, __int64 b, __int64 n) //计算(a^b) modn
{
__int64 d =1;
a = a %n;
while (b>= 1) {
if (b & 1)
d = mod_mult(d, a, n);
a = mod_mult(a, a, n);
b = b >> 1;
}
returnd;
}

bool Wintess(__int64 a, __int64 n) //以a为基对n进行Miller测试并实现二次探测
{
__int64 m,x, y;
int i, j =0;
m = n -1;
while (m % 2== 0) //计算(n-1)=m*(2^j)中的j和m,j=0时m=n-1,不断的除以2直至n为奇数
{
m = m >> 1;
j++;
}
x =mod_exp(a, m, n);
for (i = 1;i <= j; i++) {
y = mod_exp(x, 2, n);
if ((y == 1) && (x != 1)&& (x != n - 1)) //二次探测
return true; //返回true时,n是合数

x = y;
}
if (y !=1)
return true;
returnfalse;
}

bool miller_rabin(int times, __int64 n) //对n进行s次的Miller测试
{
__int64a;
int i;
if (n ==1)
return false;
if (n ==2)
return true;
if (n % 2 ==0)
return false;
srand(time(NULL));
for (i = 1;i <= times; i++) {
a = rand() % (n - 1) + 1;
if (Wintess(a, n))
return false;
}
returntrue;
}

__int64 Pollard(__int64 n, int c)//对n进行因字分解,找出n的一个因子,注意该因子不一定是最小的
{
__int64 i,k, x, y, d;
srand(time(NULL));
i = 1;
k = 2;
x = rand() %n;
y = x;
while (true){
i++;
x = (mod_mult(x, x, n) + c) % n;
d = gcd(y - x, n);
if (d > 1 && d< n)
return d;
if (y == x) //该数已经出现过,直接返回即可
return n;
if (i == k) {
y = x;
k = k << 1;
}
}
}

void get_small(__int64 n, int c) //找出最小的素数因子
{
__int64m;
if (n ==1)
return;
if(miller_rabin(TIME, n)) //判断是否为素数
{
if (n < MIN)
MIN = n;
return;
}
m = n;
while (m ==n) //找出n的一个因子
m = Pollard(n, c--);
get_small(m,c); //二分查找
get_small(n/ m, c);
}

int main() {
inttotal;
__int64n;
scanf("%d",&total);
while(total--) {
scanf("%I64d", &n);
MIN = MAX;
if (miller_rabin(TIME, n))
printf("Primen");
else {
get_small(n, C);
printf("%I64dn", MIN);
}
}
return0;
}