poj 1811 (prime test)

POJ - 1811

Prime Test

Time Limit:6000MS

Memory Limit:65536KB

64bit IO Format:%I64d & %I64u

SubmitStatus

Description

Given a big integer number, you are required to find out whether it's a prime number.

Input

The first line contains the number of test cases T (1 <= T <= 20 ), then the following T lines each contains an integer number N (2 <= N < 2 ⁵⁴).

Output

For each test case, if N is a prime number, output a line containing the word "Prime", otherwise, output a line containing the smallest prime factor of N.

Sample Input

2
5
10

Sample Output

Prime
2

题意：输入T个n， 如果n是质数，输出Prime，否则输出n的最小质因子

本题使用Miller_Rabin判质数方法，它的依据为费马小定理，取若干个a进行验证，如果中间结果以及结果皆为1，则认为x为质数

还有算约数的方法，本质是： 随机一个值，让它在某个规则下出现环\

(下方来自段大神)

题意：T个数，若为素数则输出Prime，否则输出其最小的质因子。
思路：
（1）素数判定（Miller-Robin）：
根据费马小定理，有：
a ^ (p - 1) % p = 1;
其中p为素数，0 < a < p。
于是我们随机生成a，验证p是否满足条件即可，为了尽量减少错误概率，可以生成多个不同的a。
（2）质因数分解（Pollard-Rho）：
依旧是随机算法，设 1 < x, y < n, （x, y为随机生成）
每次判断t = gcd(|x - y|, n)是否为1， 若不是则t为n的一个因数，递归分解 t 与 n / t，并判断是否已分解为素数（研究表明，|x - y|比 x 更不容易与n互质，虽然不会证->__->）；
若互质，则令x = (x * x + c) % n, 可以证明x必定会出现循环，所以用y来判断是否重复，如果出现了循环却还未找到因数，再随机出个c继续判断即可。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

#define LL long long
#define MAXN (100+5)

LL ans;
LL X[MAXN];

LL multi(LL x, LL y, LL n){
	LL ret = 0;

	while(y){
		if(y & 1LL) ret = (ret+x) % n;
		x = (x+x) % n;
		y >>= 1;
	}

	return ret;
}

LL Base(LL x, LL y, LL n){
	LL ret = 1LL;
	
	while(y){
		if(y & 1LL) ret = multi(ret, x, n);
		x = multi(x, x, n);
		y >>= 1;
	}

	return ret;
}

bool Miller_Rabin(LL n){
	if(n == 2) return true;
	
	LL s = 20, t = 0, u = n-1;
	while(!(u&1)){
		t++; u >>= 1;
	}

	while(s--){
		LL a = rand()%(n-1) + 1;

		X[0] = Base(a, u, n);
		for(LL i = 1; i <= t; i++){
			X[i] = multi(X[i-1], X[i-1], n);
			if(X[i] == 1 && X[i-1] != 1 && X[i-1] != (n-1)) return false;
		}
		if(X[t] != 1) return false;
	}

	return true;
}

LL gcd(LL a, LL b){
	return !b? a: gcd(b, a%b);
}

LL Pollard_Rho(LL n, LL c){
	LL i = 1LL, k = 2LL, x = rand()%(n-1)+1, y = x;

	while(true){
		i++;
		x = (multi(x, x, n) + c) % n;
		LL p = gcd((y-x+n)%n, n);
		
		if(p != 1 && p != n) return p;
		if(x == y) return n;

		if(i == k){
			y = x;
			k <<= 1;
		}
	}
}

void find(LL n, LL c){
//	printf("n = %lld\n", n);
	if(n == 1) return;
	if(Miller_Rabin(n)){
		ans = min(ans, n);
		return;
	}
//	printf("yes!\n");

	LL p = n, k = c;
	while(p == n) p = Pollard_Rho(p, c--);
	
	find(p, k); find(n/p, k);
}

int main(){
//	freopen("test.in", "r", stdin);
	
	int T;
	scanf("%d", &T);

	while(T--){
		LL n;
		scanf("%lld", &n);
		
		ans = (1LL<<62);
		find(n, 120);
		
		if(ans == n) printf("Prime\n");
		else printf("%lld\n", ans);
	}

	return 0;
}