如何构造任意阶幻方

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本文介绍了构造任意阶幻方的三种通用方法，包括奇数阶、4n阶和4n+2阶幻方，并探讨了不同阶幻方的独特性质。

原文地址：如何构造任意阶幻方 作者：春雨润物

填幻方

郑州市73中张丕臣

8	1	6
3	5	7
4	9	2

幻方又名魔方,或曰纵横图,.这是一种即古老而又充满活力的数学分支.近年来,人们对它的兴趣越来越浓厚.各种幻方及花样幻方层出不穷,引人入胜.

一个n阶幻方指的是将从1到n2的n2个数,排成一个n行n

列的方阵,使得沿着任何行列和对角线上的n个数的和都相等,这

个和称为幻方常数.如果n阶幻方存在的话,易知其幻方常数为 n(n2+1). 图1

17	24	1	8	15
23	5	7	14	16
4	6	13	20	22
10	12	19	21	3
11	18	25	2	9

当n=3,4,5,6,7,8时幻方常数分别为15,34,65,111,175,260.下面分三种情况向读者介

绍n阶幻方的最简单最一般的构造方法.

一. 奇数阶幻方的一般构造方法.

最简单的是三阶幻方,如图1,这是中华民族的

优秀文化遗产之一,有“九宫图” 图2

“洛书”之称.

构造奇数阶幻方,有一种非常简单巧妙的方法.仅以五阶幻方为例加以说明.首先把1放在首行正中间的位置,然后把所有后继数按“右上对角线”法放在右上斜对角的方格里,并作如下调整:

30	39	48	1	10	19	28
38	47	7	9	18	27	29
46	6	8	17	26	35	37
5	14	16	25	34	36	45
13	15	24	33	42	44	4
21	23	32	41	43	3	12
22	31	40	49	2	11	20

(1) 当超出顶行时,下一个数就放在底行里

上下相对应的格里去(上出下入)如2,9.

(2) 当超出右端列时,下一个数就放在左端

列里去(简称右出左入).如4,10,17,23.

(3) 当到达的格子已经填入数或者到达右上

角的方格时,下一个数就填在刚填写的这个数的

下边(简称:上有下填).如6,11,16,21

用这种方法可以构造出任意奇数阶幻方.图3

是用这种方法填写的一个七阶幻方. 图3

用右上对角线法填出的幻方有一些非常美妙的性质:

① 它属于雪花幻方,即与中心数(如七阶幻方中的25)成中心对称的两个数之和都相等.如1+49=2+48=10+40

② 第一行(列)与最后一行(列)的平方和相等,第二行(列)与倒数第二行(列)的平方和相等,…

二. 4n阶幻方的一般构造方法

以四阶幻方为例加以说明:作4×4正方形的对角线,按下述方法填入各数:

	2	3
5			8
9			12
	14	15

(1) 从第一行起,按从左到右的次序依次填入,只在没有被(当然也可以是全被)对角线割开的方格里记上该方格的位置序号如图4.

(2) 再从最后一行起,按从右向左,自下而上的的顺序依次在剩下的方格里填入该位置方格的位置序号.

一个四阶幻方就做好了. 图4

16	2	3	13
5	11	10	8
9	7	6	12
4	14	15	1

在构作8阶,12阶,16阶,…幻方时,只要先把它分成4×4方块,再画出所有4×4正方形的对角线,然后用上述方法填入各数即可.用这种方法构作的4n阶幻方有如下特殊性质:

① 4n阶幻方中,前2n行(列)的各数的平方和等于后2n行(列)的各数的平方和;

② 对角线(包括所有4×4正方形中的对角线)上的数与图5

非对角线的数的和,平方和,立方和分别相等.

三. 4n+2阶幻方的构造方法


26	12	13	23
15	21	20	18
19	17	16	22
14	24	25	11

以六阶幻方为例加以说明:

将中间的4×4正方形按四阶幻方处理将从1---36这36

各数中中间的16个数填入表中如图6.将剩余的数按大小搭

配成对(1,36), (2,35), (3,34), …,(10,27).共10对.计数时

当某对数的一个数填入第一行(左端列)时,另一个数就相应

地填入最后一行(右端列)相对应的格里.特别的,当某数填在

6×6的正方形的某一个角时,另一个数就填在对角的位

置上. 图6

1	10	35	31	30	4
5	26	12	13	23	32
9	15	21	20	18	28
34	19	17	16	22	3
29	14	24	25	11	8
33	27	2	6	7	36

显然,只要确定1---10这10个数的填法就行了.而这10个数中有且只有两个数在角上,每边(行或列)应有

(10+2)=3个这样的数.这三个数之和为 (1+2+3+…+10+x)其中x是四个角中应填入那两个数的和.易知当 x=5,9,13,17时,分别有整数商15,16,17,18.

当x=5时,首行两角可填入(1,4),或 (2,3). 图7

当x=9时,首行两角可填入(1,8),(3,6), (4,5).……

以填(1,4)为例说明具体填法.如图7,此时每行中填入1---10中的三个数的和应为15.

① 首先把1,4填入首行两角;

② 首行还应填入一个数:15－1－4=10;

③ 左边列可填入5,9(或6,8);

④ 右边列可填入3,8(或2,9).

⑤ 将剩余数2,6,7(或3,5,7)填入最后一行的空格里;

⑥ 将对应数填入相应格里即可.

由此可知,用这种方法可以填写出多种不同的六阶幻方.

下面的图是用这种方法填出的一个10阶幻方.

1	9	10	14	97	95	93	88	86	12
5	82	20	21	79	78	24	25	75	96
7	27	73	72	30	31	69	68	34	94
16	35	65	64	38	39	61	60	42	85
17	58	44	45	55	54	48	49	51	84
99	50	52	53	47	46	56	57	43	2
98	59	41	40	62	63	37	36	66	3
90	67	33	32	70	71	29	28	74	11
83	26	76	77	23	22	80	81	19	18
89	92	91	87	4	6	8	13	15	100

图8

用这种方法填出的4n+2阶幻方都是回套幻方.即将它的外层去掉以后,剩下的便是个4n阶幻方.

利用上述方法,可以构造出任意n阶(n≥3)的幻方.

关于那些构思巧妙的幻方(如分块幻方,积幻方,双料幻方,平方幻方,立方幻方镶嵌幻方),需要一定的技巧,另行介绍.

一般幻方都有很多种不同的构造的方法,仅4阶幻方就有880种之多.5阶幻方有275305224种,7阶幻方有363916800种,8阶幻方已经有超过10亿种之多.在这些众多的不同的填写方法中,必有一些具有精美奇巧的优美幻方.读者不妨一试.

30	39	48	1	10	19	28
38	47	7	9	18	27	29
46	6	8	17	26	35	37
5	14	16	25	34	36	45
13	15	24	33	42	44	4
21	23	32	41	43	3	12
22	31	40	49	2	11	20

1	10	35	31	30	4
5	26	12	13	23	32
9	15	21	20	18	28
34	19	17	16	22	3
29	14	24	25	11	8
33	27	2	6	7	36

1	9	10	14	97	95	93	88	86	12
5	82	20	21	79	78	24	25	75	96
7	27	73	72	30	31	69	68	34	94
16	35	65	64	38	39	61	60	42	85
17	58	44	45	55	54	48	49	51	84
99	50	52	53	47	46	56	57	43	2
98	59	41	40	62	63	37	36	66	3
90	67	33	32	70	71	29	28	74	11
83	26	76	77	23	22	80	81	19	18
89	92	91	87	4	6	8	13	15	100

30	39	48	1	10	19	28
38	47	7	9	18	27	29
46	6	8	17	26	35	37
5	14	16	25	34	36	45
13	15	24	33	42	44	4
21	23	32	41	43	3	12
22	31	40	49	2	11	20

1	10	35	31	30	4
5	26	12	13	23	32
9	15	21	20	18	28
34	19	17	16	22	3
29	14	24	25	11	8
33	27	2	6	7	36

1	9	10	14	97	95	93	88	86	12
5	82	20	21	79	78	24	25	75	96
7	27	73	72	30	31	69	68	34	94
16	35	65	64	38	39	61	60	42	85
17	58	44	45	55	54	48	49	51	84
99	50	52	53	47	46	56	57	43	2
98	59	41	40	62	63	37	36	66	3
90	67	33	32	70	71	29	28	74	11
83	26	76	77	23	22	80	81	19	18
89	92	91	87	4	6	8	13	15	100

30	39	48	1	10	19	28
38	47	7	9	18	27	29
46	6	8	17	26	35	37
5	14	16	25	34	36	45
13	15	24	33	42	44	4
21	23	32	41	43	3	12
22	31	40	49	2	11	20

1	10	35	31	30	4
5	26	12	13	23	32
9	15	21	20	18	28
34	19	17	16	22	3
29	14	24	25	11	8
33	27	2	6	7	36

1	9	10	14	97	95	93	88	86	12
5	82	20	21	79	78	24	25	75	96
7	27	73	72	30	31	69	68	34	94
16	35	65	64	38	39	61	60	42	85
17	58	44	45	55	54	48	49	51	84
99	50	52	53	47	46	56	57	43	2
98	59	41	40	62	63	37	36	66	3
90	67	33	32	70	71	29	28	74	11
83	26	76	77	23	22	80	81	19	18
89	92	91	87	4	6	8	13	15	100