填幻方
郑州市73中
8 | 1 | 6 |
3 | 5 | 7 |
4 | 9 | 2 |
幻方又名魔方,或曰纵横图,.这是一种即古老而又充满活力的数学分支.近年来,人们对它的兴趣越来越浓厚.各种幻方及花样幻方层出不穷,引人入胜.
一个n阶幻方指的是将从1到n2的n2个数,排成一个n行n
列的方阵,使得沿着任何行列和对角线上的n个数的和都相等,这
个和称为幻方常数.如果n阶幻方存在的话,易知其幻方常数为 n(n2+1).
17 | 24 | 1 | 8 | 15 |
23 | 5 | 7 | 14 | 16 |
4 | 6 | 13 | 20 | 22 |
10 | 12 | 19 | 21 | 3 |
11 | 18 | 25 | 2 | 9 |
当n=3,4,5,6,7,8时幻方常数分别为15,34,65,111,175,260.下面分三种情况向读者介
绍n阶幻方的最简单最一般的构造方法.
一.
最简单的是三阶幻方,如图1,这是中华民族的
优秀文化遗产之一,有“九宫图”
“洛书”之称.
构造奇数阶幻方,有一种非常简单巧妙的方法.仅以五阶幻方为例加以说明.首先把1放在首行正中间的位置,然后把所有后继数按“右上对角线”法放在右上斜对角的方格里,并作如下调整:
30 | 39 | 48 | 1 | 10 | 19 | 28 |
38 | 47 | 7 | 9 | 18 | 27 | 29 |
46 | 6 | 8 | 17 | 26 | 35 | 37 |
5 | 14 | 16 | 25 | 34 | 36 | 45 |
13 | 15 | 24 | 33 | 42 | 44 | 4 |
21 | 23 | 32 | 41 | 43 | 3 | 12 |
22 | 31 | 40 | 49 | 2 | 11 | 20 |
(1)
上下相对应的格里去(上出下入)如2,9.
(2)
列里去(简称右出左入).如4,10,17,23.
(3)
角的方格时,下一个数就填在刚填写的这个数的
下边(简称:上有下填).如6,11,16,21
用这种方法可以构造出任意奇数阶幻方.图3
是用这种方法填写的一个七阶幻方.
用右上对角线法填出的幻方有一些非常美妙的性质:
①
②
二.
以四阶幻方为例加以说明:作4×4正方形的对角线,按下述方法填入各数:
| 2 | 3 | |
5 | | | 8 |
9 | | | 12 |
| 14 | 15 | |
(1)
(2)
一个四阶幻方就做好了.
16 | 2 | 3 | 13 |
5 | 11 | 10 | 8 |
9 | 7 | 6 | 12 |
4 | 14 | 15 | 1 |
在构作8阶,12阶,16阶,…幻方时,只要先把它分成4×4方块,再画出所有4×4正方形的对角线,然后用上述方法填入各数即可.用这种方法构作的4n阶幻方有如下特殊性质:
①
②
非对角线的数的和,平方和,立方和分别相等.
三.
| | | | | |
| 26 | 12 | 13 | 23 | |
| 15 | 21 | 20 | 18 | |
| 19 | 17 | 16 | 22 | |
| 14 | 24 | 25 | 11 | |
| | | | | |
以六阶幻方为例加以说明:
将中间的4×4正方形按四阶幻方处理将从1---36这36
各数中中间的16个数填入表中如图6.将剩余的数按大小搭
配成对(1,36),
当某对数的一个数填入第一行(左端列)时,另一个数就相应
地填入最后一行(右端列)相对应的格里.特别的,当某数填在
6×6的正方形的某一个角时,另一个数就填在对角的位
置上.
1 | 10 | 35 | 31 | 30 | 4 |
5 | 26 | 12 | 13 | 23 | 32 |
9 | 15 | 21 | 20 | 18 | 28 |
34 | 19 | 17 | 16 | 22 | 3 |
29 | 14 | 24 | 25 | 11 | 8 |
33 | 27 | 2 | 6 | 7 | 36 |
显然,只要确定1---10这10个数的填法就行了.而这10个数中有且只有两个数在角上,每边(行或列)应有
当x=5时,首行两角可填入(1,4),或 (2,3).
当x=9时,首行两角可填入(1,8),(3,6), (4,5).……
以填(1,4)为例说明具体填法.如图7,此时每行中填入1---10中的三个数的和应为15.
①
②
③
④
⑤
⑥
由此可知,用这种方法可以填写出多种不同的六阶幻方.
下面的图是用这种方法填出的一个10阶幻方.
1 | 9 | 10 | 14 | 97 | 95 | 93 | 88 | 86 | 12 |
5 | 82 | 20 | 21 | 79 | 78 | 24 | 25 | 75 | 96 |
7 | 27 | 73 | 72 | 30 | 31 | 69 | 68 | 34 | 94 |
16 | 35 | 65 | 64 | 38 | 39 | 61 | 60 | 42 | 85 |
17 | 58 | 44 | 45 | 55 | 54 | 48 | 49 | 51 | 84 |
99 | 50 | 52 | 53 | 47 | 46 | 56 | 57 | 43 | 2 |
98 | 59 | 41 | 40 | 62 | 63 | 37 | 36 | 66 | 3 |
90 | 67 | 33 | 32 | 70 | 71 | 29 | 28 | 74 | 11 |
83 | 26 | 76 | 77 | 23 | 22 | 80 | 81 | 19 | 18 |
89 | 92 | 91 | 87 | 4 | 6 | 8 | 13 | 15 | 100 |
图8
用这种方法填出的4n+2阶幻方都是回套幻方.即将它的外层去掉以后,剩下的便是个4n阶幻方.
利用上述方法,可以构造出任意n阶(n≥3)的幻方.
关于那些构思巧妙的幻方(如分块幻方,积幻方,双料幻方,平方幻方,立方幻方镶嵌幻方),需要一定的技巧,另行介绍.
一般幻方都有很多种不同的构造的方法,仅4阶幻方就有880种之多.5阶幻方有275305224种,7阶幻方有363916800种,8阶幻方已经有超过10亿种之多.在这些众多的不同的填写方法中,必有一些具有精美奇巧的优美幻方.读者不妨一试.